Gmailなどのフリーメールサービスは置いといて、IMAPサーバで良いのでは?
今お使いのインターネットサービスプロバイダのメールサーバで使えると思いますよ。
IMAPはPOP3と違いデータをサーバに残しておきます。
IMAP4 -- メールの管理をサーバーで! ホスティングサービス使いこなしWEBマガジン あみあみ
Googleグループを使えば実現できます。
https://support.google.com/mail/answer/30970?hl=ja
サイボウズLiveという無料のグループウェアはどうでしょうか?
新たにアカウントを作成する手間はかかりますが、0円で利用できますよ。
https://live.cybozu.co.jp