スマホの設定→アカウントと同期を開きます「自動同期」と「バックグラウンドデータ」にチェックが入っていなければチェックしてください。
これでも通知が届かない場合は、スマホを再起動させ、Twitterの通知設定にチェックが入っているかどうか確認してみて下さい。
Twitterアプリを削除して,もう一度ストアからインストール。
アプリがバグってるだけかも。
上記の回答でうまくいかない場合、同じパスワードを再設定して保存してみてください。(もし、嫌でなければ違うパスワードに設定し直してみてください。)