Wi-Fi器具の電波はキャッチできているようですので、問題はWi-Fi器具のLAN端子関係かWi-Fi器具が繋がっているルーターやケーブルに問題があるかもしれません。
ケーブルを繋ぎ直したり、Wi-Fi器具の電源を入れ直したりしてみるとよいかもしれません。電源を入れ直す場合、3DSのインターネット設定をやり直す必要があります。Wi-Fi器具ではなくルーターの電源を切ってしまうと、場合によっては電話回線に繋がらなくなる可能性がありますので注意してください。
接続テストの結果を書いてみてください。