ご友人の言っていることはもちろん強引な結びつけでしかないのですが1ミリくらい理解できる点がないでもないのでその点だけ説明。
メンヘラ=メンヘル(メンタルヘルス)er=心を病んでいる人
といっても、心の病み方にはいろいろあります。
ただ、ネットスラングとしてのメンヘラはほぼ境界性パーソナリティ障害(BPD)やそれに類する性格上の問題のことを指すことが多いです。
BPDの人の人付き合いとしては、他人を巻き込み、依存するタイプの振る舞いが目立ちます。それは本人の感情の不安定さに由来するのですが。
そういう依存的な振る舞いをものすごくポジティブに表現すると、まあ「一途」と言えないこともないのですかね。僕は違うと思いますけど。
ご友人の中ではそこらへん飛躍してメンヘラと一途がイコールになっているのでしょう。
語彙力が無い人ほど、スラングを多用するものですが、
人を思う気持ちの無い人が使うと何とかに刃物です。
流行語はそれ自体確率した概念が無いため、つまり曖昧であるために
使う人の感性に依存します。
友人がどういう意図で使ったかは不明ですが、人格を否定するような意味なら、
かなり失礼な話だと思います。