自分が使っているスマホ(Andorid)だと、アプリを使わず、電源ボタンと音量ボタンの大を同時押しでスクリーンキャプチャできます。アプリゲームの画面を保存したいときはこうしています。不器用なので、両手の指一本ずつ使って「せーの!」で押してます(笑)
同時押しのタイミングをつかむのが難しいですね。
もしかすると機種によって違うかも知れないので、google検索などで「(お持ちのスマホの型式) スクシーンキャプチャー」と検索してみてください。
Android4.0以降であれば基本的に上と同じ電源ボタンと音量-でできますが、端末によっては電源ボタンとホームボタンや、電源ボタン長押しで出てくるメニューから「スクリーンショットを撮る」の項目を選ぶとできます。
4.0以前の端末では基本的にできないのでそれ以外の方法は
この方法はあまりお勧めしません。基本的にroot化が必要ですので。root化は想定していない行為ですのでで修理ができなくなります。最悪の場合端末が起動できなくなりますので大切に使っているのならばやめましょう。
PCにUSBを繋いでadbを使って撮ることができますがこのやり方は準備が面倒で(自分もできるまで時間が掛かりました)説明をここに書くのも大変ですので自分で「Android PC スクリーンショット」などで調べてください