何に使用するかわかりませんが、画面表示を全て黒で埋めてしまってブラックアウトしてしまえば可能です。
もちろん、その様にプログラムを組む必要がありますが、原理は非常に簡単ですよ。
http://motogeneralpurpose.blogspot.jp/2012/10/android_29.html
こういった輝度を調整するアプリを使えばいいのではないでしょうか?
Android
http://androidlover.net/apps/system/screen-filter.html
iPhone
http://iphone.uchi.in/article/372154854.html
https://itunes.apple.com/jp/app/mingrusa-diao-jienotilt-brightness/id534964558?mt=8
もしくはこういった方法で輝度を調整すればいいのでないでしょうか?(Android)
http://www.sony.jp/support/tablet/guide/dialogue/002/index.html
(たまたまここに来たので自分のわかる範囲ですが)
バックグラウンド=画面を消した状態で動作できるかは、アプリによります。
たとえば、音楽アプリは画面を消しても音楽は鳴っているし、動画再生アプリの一部では画面を消しても音声だけは鳴らせたり、カメラアプリも一部では画面を消しても撮影し続けることができたりしますよね。
なんのアプリかによりアドバイスは異なるかと思います。