<div>.*?</div>

でいいのでは？
状況に依り...ですが . (ﾄﾞｯﾄ)が改行文字を含むように修飾子を指定した方がよいかもしれません｡

何を使うか(言語とか､ﾂｰﾙとか)によって､やり方が変わったり､そもそもできない､という可能性もあります｡
ここでは､javascript の場合｡


ひとつは､肯定的先読みを使う方法｡

var s = "a-kuma3<div>q.hatena.ne.jp</div>q1409058680";

// 肯定的先読みを使う
var re = /<div>.*(?=<\/div>)/;
var result = re.exec(s);
if (result) {
 console.log(result[0]); // 正規表現全体にﾏｯﾁする文字列
}

出力は､こうなります｡

<div>q.hatena.ne.jp

正規表現全体が､<div> から </div> の手前までにﾏｯﾁします｡


もうひとつのやり方は､ｸﾞﾙｰﾋﾟﾝｸﾞを使う方法｡
正規表現の一部がﾏｯﾁするので､それをｸﾞﾙｰﾌﾟとして取り出します｡

var s = "a-kuma3<div>q.hatena.ne.jp</div>q1409058680";

// ｸﾞﾙｰﾋﾟﾝｸﾞを使う
var re = /(<div>.*)<\/div>/;
var result = re.exec(s);
if (result) {
 console.log(result[0]); // 正規表現全体にﾏｯﾁする文字列
 console.log(result[1]); // 一番目のｸﾞﾙｰﾌﾟにﾏｯﾁする文字列
}

出力は､こうなります｡

<div>q.hatena.ne.jp</div>
<div>q.hatena.ne.jp