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6-5 高校数学の確率の問題です

問題http://imgur.com/6AzuR8j
解説http://imgur.com/hhsVUXN

n回目に勝負がついていないのは○●○●・・・となることで、このようになる確率が
(1/2)^(n-k-1)(ただしk=nのときは1)とあるのですが何故(1/2)^(n-k-1)になるのか分かりません 後最初に勝った場合で考えていますが負けた場合は考えなくていいんですか?
よってn回目に勝負が付かない確率はP[n]=Σ[k=0→n-1][n]C[k]/2^n×(1/2)^(n-k-1)+[n]C[k]/2^nの式も何でこんな式になるのか分かりません

求める確率がP[n-1]-P[n]で求まるのも良く分かりません

●質問者: ronginusu
●カテゴリ:学習・教育
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 1/1件

▽最新の回答へ

1 ● a-kuma3
ベストアンサー

n回目に勝負がついていないのは○●○●・・・となることで、このようになる確率が
(1/2)^(n-k-1)(ただしk=nのときは1)とあるのですが何故(1/2)^(n-k-1)になるのか分かりません 後最初に勝った場合で考えていますが負けた場合は考えなくていいんですか?

「n回中k回が△であるという条件のもとで」なので、合計n個の○●△のうち、△がk個。
なので、○●の合計の個数は、n?k個。

n回目までに勝負がついていない、ってことは、・・○○・・というのが無い、ということ。
また、・・●●・・も無い。相手が勝っちゃうから。

で、(△をのぞいた)最初は、でもでも良い(確率は1)。
(△をのぞいた)二回目は、一回目の反対だから確率は ¥frac{1}{2}

三回目、四回目、と続けて、n?k回目までが、1 ¥cdot ¥frac{1}{2} ¥cdot ¥frac{1}{2} ¥hspace{10} ... ¥hspace{10} ¥frac{1}{2}

最初の 1 も入れて、n?k個なので、¥left(¥frac{1}{2}¥right)^{n-k-1}

「ただし、k=nのときは...」は、良いですよね。

よってn回目に勝負が付かない確率はP[n]=Σ[k=0→n-1][n]C[k]/2^n×(1/2)^(n-k-1)+[n]C[k]/2^nの式も何でこんな式になるのか分かりません

n回中k回が△になって、まだ勝負がついてない確率は、ふたつの式のかけ算なので、
¥frac{n ¥LARGE C ¥normalsize k}{2^n} ¥cdot ¥left(¥frac{1}{2}¥right)^{n-k-1}

n回目に勝負がつかない確率は、△の数、つまりkが、0のとき、1のとき、... k=n のときの合計です。
なので、本当は、以下のように書きたい(Σがnまで)。
¥sum_{k=0}^{n} ¥frac{n ¥LARGE C ¥normalsize k}{2^n} ¥cdot ¥left(¥frac{1}{2}¥right)^{n-k-1}

でも、k=nのときだけは、ふたつ目の式が1になることが分かってるので、k=nだけを別にします。
k=0?n?1までは、
¥sum_{k=0}^{n-1} ¥frac{n ¥LARGE C ¥normalsize k}{2^n} ¥cdot ¥left(¥frac{1}{2}¥right)^{n-k-1}

k=nのときだけは、
¥frac{n ¥LARGE C ¥normalsize n}{2^n}

なので、k=0?nまでの合計は、上の2式の足し算になります。
¥sum_{k=0}^{n-1} ¥frac{n ¥LARGE C ¥normalsize k}{2^n} ¥cdot ¥left(¥frac{1}{2}¥right)^{n-k-1} + ¥frac{n ¥LARGE C ¥normalsize n}{2^n}


求める確率がP[n-1]-P[n]で求まるのも良く分かりません

n回目の勝負だけに着目すると、勝負がつく確率+勝負がつかない確率=1 です。
Pn-1 = Pn-1×1
=Pn-1×(勝負がつく確率+勝負がつかない確率)
=Pn-1×勝負がつく確率 + Pn-1×勝負がつかない確率

「Pn-1×勝負がつく確率」は、n?1回目までは勝負がつかなくて、n回目で初めて勝負がつく確率です。
これが、この問題で求めるもの。

「Pn-1×勝負がつかない確率」は、n?1回目までは勝負がつかなくて、さらにn回目でも勝負がつかない確率です。
これは、n回目まで勝負がつかない確率ということなので、Pn-1×勝負がつかない確率 = Pn です。

Pn-1 = n回目で初めて勝負がつく確率 + Pn
Pn-1 ? Pn = n回目で初めて勝負がつく確率

となります。


ronginusuさんのコメント
>ふたつの式のかけ算なので (1/2)^(n-k-1)ともう一つの[n]C[k]/2^nはどこから出てきたのですか? >最初の 1 も入れて、n?k個なので、(1/2)^(n-k-1) 最初の1を入れてn-k個の1/2を掛けると(1/2)^(n-k)じゃないですか?

a-kuma3さんのコメント
>> >ふたつの式のかけ算なので (1/2)^(n-k-1)ともう一つの[n]C[k]/2^nはどこから出てきたのですか? << 模範解答の最初の方に「n回中k回が△となる確率」と書いてある式。 >> 最初の1を入れてn-k個の1/2を掛けると(1/2)^(n-k)じゃないですか? << n?k個の [tex:\frac{1}{2}] ではなくて、1も入れて、全部でn?k個。 だから [tex:\frac{1}{2}] は、n?k?1個です。 <tt>○</tt>と<tt>●</tt>の数を思い出してください。

ronginusuさんのコメント
>「n回中k回が△となる確率」と書いてある式。 n回中k回△になる場合の数が[n]C[k]となるのは分かるんですが、2^nで割るのは何でですか? >全部でn?k個。 1×1/2×1/2×・・・×1/2の1と1/2の数が合わせてn-k個だから1/2はn-k-1個あるという事ですか?

a-kuma3さんのコメント
>> 2^nで割るのは何でですか? << 2<sup>n</sup> で割る、というのではなく、左側の式で考えて。「二項分布の確率」という名前は出てこなかった? [tex:\left(\frac{1}{2}\right)^{k}] が、△がk回の確率。 [tex:\left(\frac{1}{2}\right)^{n-k}] が、△じゃない(<tt>○</tt>か<tt>●</tt>)のがn?k回の確率。 両方をかけると [tex:\left(\frac{1}{2}\right)^{n}] なので、[tex:\frac{1}{2^n}] です。 >> 1×1/2×1/2×・・・×1/2の1と1/2の数が合わせてn-k個だから1/2はn-k-1個あるという事ですか? << そうです <tt>:-)</tt>

ronginusuさんのコメント
分かりました、有難うございました?

ronginusuさんのコメント
他に疑問点が無いか確認してから、ベストアンサーに選ばせていただきますね

a-kuma3さんのコメント
テスト期間ですよね。 頑張ってねー<tt>♪</tt>

ronginusuさんのコメント
>k=nのときだけは、ふたつ目の式が1になることが分かってるので、k=nだけを別にします。 k=nを代入したら(1/2)^(-1)=2になるんですけど、何で1になるんですか? 後は解説の2/2^(2n)×Σ[k=0→n-1][n]C[k]×2^k+1/2^nから2/2^(2n)×{(2+1)^n-2^n}+1/2^n(二項定理)への変形が分かりません

a-kuma3さんのコメント
>> k=nを代入したら(1/2)^(-1)=2になるんですけど、何で1になるんですか? << そう、代入しちゃいけない。 k=nということは、「n回中k回が△のときに、勝負がつかない確率」だから、ずっと△なら絶対に勝負はつかない。 つまり、勝負がつかない確率が 1 なんです。 >> 後は解説の2/2^(2n)×Σ[k=0→n-1][n]C[k]×2^k+1/2^nから2/2^(2n)×{(2+1)^n-2^n}+1/2^n(二項定理)への変形が分かりません << まず、分かりやすい後半の方。 [tex:\frac{n \LARGE C \normalsize n}{2^n}] [tex:n \LARGE C \normalsize n = 1] なので、[tex:\frac{n \LARGE C \normalsize n}{2^n} = \frac{1}{2^n}] 前半の方は、こんな感じ。 [tex:\sum_{k=0}^{n-1} \frac{n \LARGE C \normalsize k}{2^n} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-k-1}] [tex:= \sum_{k=0}^{n-1} n \LARGE C \normalsize k \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n \hspace{20} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{-k-1}] [tex:= \sum_{k=0}^{n-1} n \LARGE C \normalsize k \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n \hspace{20} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{-k} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{-1}] [tex:= \sum_{k=0}^{n-1} n \LARGE C \normalsize k \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n \hspace{20} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n} \cdot 2^k \cdot 2] kに関係ないのは、Σの外に出せるから、 [tex:= \frac{2}{2^{2n}} \sum_{k=0}^{n-1} n \LARGE C \normalsize k \hspace{5} \cdot 2^k]

ronginusuさんのコメント
>勝負がつかない確率が 1 なんです。 なるほど、分かりました >kに関係ないのは、Σの外に出せるから、2/2^(2n)×Σ[k=0→n-1][n]C[k]×2^k ここまでは分かるのですが、この次の2/2^(2n)×{(2+1)^n-2^n}+1/2^n(二項定理)への変形が分かりません

a-kuma3さんのコメント
>> ここまでは分かるのですが、この次の2/2^(2n)×{(2+1)^n-2^n}+1/2^n(二項定理)への変形が分かりません << 二項定理は習いましたか? [http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%AE%9A%E7%90%86:title] [tex:(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} n \LARGE C \normalsize k \hspace{5} x^k y^{n-k}] 以下の部分に着目します。 [tex:\sum_{k=0}^{n-1} n \LARGE C \normalsize k \hspace{5} \cdot 2^k] シグマをn?1からnにするとしたら、k=nの分を差し引けば、同値です。 [tex:= \sum_{k=0}^{n} n \LARGE C \normalsize k \hspace{5} \cdot 2^k - n \LARGE C \normalsize n \hspace{5} \cdot 2^n ] ここで、二項定理を使います。 x=2、y=1で、考えます。 [tex:= \sum_{k=0}^{n} n \LARGE C \normalsize k \hspace{5} \cdot 2^k \cdot 1^{n-k} - n \LARGE C \normalsize n \hspace{5} \cdot 2^n ] [tex:= (2+1)^n - n \LARGE C \normalsize n \hspace{5} \cdot 2^n ] <sub>n</sub>C<sub>n</sub>=1なので、以下のようになります。 [tex:= (2+1)^n - 2^n ]

ronginusuさんのコメント
分かりました?有難うございました
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