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6-4 高校数学の確率の問題です

問題http://imgur.com/UnjO66R
解説http://imgur.com/avGgubu
a>bをみたすのはbの値で場合を分けて数えると45+43+39+33+25+16+9+4+1=215通り とあるんですがこの式は何でこんな式が出てくるんですか?

a=bとなるのは(1+2+3+4)×2はaが10まででbと同じ数が3,4が1通り、5,6が2通り,7,8が3通り
9,10が4通りという事で1+2+3+4だと思うんですが×2するのは何故ですか?

後a>bとa=bを求めて全体から引いてるんですが、いきなりa<bは求めるの難しいのですか?


●質問者: ronginusu
●カテゴリ:学習・教育
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 1/1件

▽最新の回答へ

質問者から

文字数が足りなくなったので続きの疑問点を下に書きます

別解のb=20,18,...の順に数えるとやはり45+43+..=215通りとあるのですが、これは何でそうなるんですか?

甲の2枚の組を[a[1],a[2]}として(1)の一つ{(a[1],a[2]),b[1]}・・イを考えると
(b[1]は乙の数) {(11-a[1],11-a[2]),22-b[1]}・・ロも(1)の一つであり、イとロで1対とすると(1)はこのような45×5対からなる[b<=10である45×5通りをイで考えれば残り45×5通りはロで考えることになる]の所でb[1]は乙の数というのが何の事か分かりません

{(11-a[1],11-a[2]),22-b[1]}・・ロも(1)の一つであり、イとロで1対とすると(1)はこのような45×5対からなる も何でこのような事が言えるのか分かりません

そしてa≠bであるどの対についても一方はa>b他方はb>aであるからP(a>b)=P(b>a)も何でこのような事が言えるのか分からないです


1 ● rsc

(1)模範解答の右側のa(=a1+a2)は、甲のカードの和がとり得る全パターンの表のようです。
例えば、3=1+2,4=1+3…1通り
5=1+4,2+3…2通り

で、模範回答はこの表を使ってカウントしているようです。
45+43+39+…という式は、b=2のとき、a=a1+a2は、模範解答右側の表から3以上なので、45通り。
1*2+2*2+3*2+4*2+5+4*2+3*2+2*2+1*2=(1+2+3+4)*2+5+(1+2+3+4)*2=45
でもいいですが、aの全体が45通りと分かっているのでそのままとってもいいです。
b=4のとき、表から、
2*2+3*2+4*2+5+4*2+3*2+2*2+1*2=(2+3+4)*2+5+(1+2+3+4)*2=43
でもいいですが、45-2=43でもいいです。
以下同様。
(2)a=bとなるのは、a=4,6,8,10,12,14,16,18のときだから、
表より、
1+2+3+4+4+3+2+1=(1+2+3+4)*2
(3)それでもいいですが、(1)でのカウントが大変だったので、繰り返したくないのかな。(^_^;

※参考URL
http://d.hatena.ne.jp/rsc96074/20141018/1413581068


a-kuma3さんのコメント
こっちは、任せたっ! <tt>:-)</tt>

ronginusuさんのコメント
有難うございます、御返答くださった内容は分かったのですが後 a>bとa=bを求めて全体から引いてるんですが、いきなりa<bは求めるの難しいのですか? 別解のb=20,18,...の順に数えるとやはり45+43+..=215通りとあるのですが、これは何でそうなるんですか? 甲の2枚の組を[a[1],a[2]}として(1)の一つ{(a[1],a[2]),b[1]}・・イを考えると (b[1]は乙の数) {(11-a[1],11-a[2]),22-b[1]}・・ロも(1)の一つであり、イとロで1対とすると(1)はこのような45×5対からなる[b<=10である45×5通りをイで考えれば残り45×5通りはロで考えることになる]の所でb[1]は乙の数というのが何の事か分かりません {(11-a[1],11-a[2]),22-b[1]}・・ロも(1)の一つであり、イとロで1対とすると(1)はこのような45×5対からなる も何でこのような事が言えるのか分かりません そしてa≠bであるどの対についても一方はa>b他方はb>aであるからP(a>b)=P(b>a)も何でこのような事が言えるのか分からないです この疑問点の方も是非宜しくお願いします

rscさんのコメント
>> a>bとa=bを求めて全体から引いてるんですが、いきなりa<bは求めるの難しいのですか? << 「a>b」を求める難しさと「a<b」を求める難しさは同じです。難しさというより面倒さです。で、「a=b」の場合を求める方が、楽なので、「a<b」の場合を求める代わりに「a=b」の場合を求めて、全体から引いています。 >> 別解のb=20,18,...の順に数えるとやはり45+43+..=215通りとあるのですが、これは何でそうなるんですか? << b>aの場合をb=20,18,...の順に数えるとやはり45+43+...は、 aの表をみると、a=a1+a2の最大値は19だから、全パターン(45通り)a<b=20ということになるから、45通り。 b=18のとき、aの表から、19と18意外だから、45-2=43と続きます。 参考URLのプログラムの実行結果の表も参考にして下さい。(^_^;

ronginusuさんのコメント
分かりました、読んだのですが甲の2枚の組を[a[1],a[2]}として(1)の一つ{(a[1],a[2]),b[1]}・・イを考えると (b[1]は乙の数) {(11-a[1],11-a[2]),22-b[1]}・・ロも(1)の一つであり、イとロで1対とすると(1)はこのような45×5対からなる[b<=10である45×5通りをイで考えれば残り45×5通りはロで考えることになる]の所でb[1]は乙の数というのが何の事か分かりません {(11-a[1],11-a[2]),22-b[1]}・・ロも(1)の一つであり、イとロで1対とすると(1)はこのような45×5対からなる も何でこのような事が言えるのか分かりません そしてa≠bであるどの対についても一方はa>b他方はb>aであるからP(a>b)=P(b>a)も何でこのような事が言えるのか分からないです この部分の解説を宜しくお願いします

rscさんのコメント
おそらく、対称性を利用しようとしているのだろうけどちょっと分かりませんね。(^_^; たとえば、a[1]=1,a[2]=2,b[1]=2のとき、{(1,2),2} v.s.{(10,9),20}というように、 具体的な数字を入れて、以下続けていって並べて眺めてみると閃くかも。(^_^;

ronginusuさんのコメント
そうですか、やってみます

a-kuma3さんのコメント
お呼ばれしたので、横から失礼 <tt>:-)</tt> 11?a<sub>1</sub> のあたりは、こういうふうに考えると良いかも。 f:id:a-kuma3:20141020110334p:image 1?10のa<sub>j</sub>を考えたとき、あるひとつを選ぶと、頭(0)から幾つ離れた場所のカード、と考えると、それに対応して、お尻(11)から同じ距離だけ離れたカードがひとつ決まる。 2→9、7→4 みたいに。 それを式で書くと、a<sub>1</sub> → 11?a<sub>1</sub> が対応してる、となる。 bも同様。 2ずつ離れていて、最後のカードが20なので、というふうに考える。 2枚のaと1枚のb、さっきの考え方で、それぞれに対応するカードがあるので、それを組み合わせたものも、対応すると考えられる。 {{a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>}, b<sub>1</sub>} {{11?a<sub>1</sub>,11?a<sub>2</sub>},22?b<sub>1</sub>} 上のふたつをペアで考えるのを、「1対」と模範解答では呼んでいる。 全部で45×10通り=450通りの二枚のaと一枚のbは、そのペアで考えると、必ず相手がいるので、225通りになる。 ちなみに、「45×5通り」と書いてしまうと、まるでbの組み合わせが減ったように見えるので、あまり良い書き方ではないと思う。 a<sub>1</sub>と、a<sub>2</sub> の合計aを考えたときに、対の方はこうなる。 a’=11?a<sub>1</sub>+11?a<sub>2</sub> =22?(a<sub>1</sub>+a<sub>2</sub>) b’=22?b a>bのときに、a’とb’の大小関係はどうなるかというと、 22?(a<sub>1</sub>+a<sub>2</sub>) =22?a a>bだから 22?a<22?b なので、a’<b’になる つまり、a>bになるようなカードの組み合わせがあると、それに対応するa’<b’となるカードの組み合わせがひとつ存在する。 つまり、両者は同数あるということなので、P(a>b)とP(a<b)は、分子が同じで、分母は当然同じだから、確率は同じになる。

ronginusuさんのコメント
a>bとa=bを求めて全体から引いてるんですが、いきなりa<bとa<bは全く同じ場合の数ですよね?

ronginusuさんのコメント
イとロで1対とするっていうのは例えばa[1]=2,a[2]=4,b[1]=6とすると{(a[1],a[2]),b[1]}={(2,4),6} と{(11-a[1],11-a[2]),22-b[1]}={(9,7),16}が同じと考えるって事ですか?そうだとして、何でこんな事をするんですか?何かメリットがあるんですか?b<=10である45×5通りをイで考えれば残り45×5通りはロで考えることになるも何の事か良く分かりませんb<=10の時は{(a[1],a[2]),b[1]}で考えて残り45×5通りはロで考えるというのは分けて考えないといけないのですか?

a-kuma3さんのコメント
>> a>bとa=bを求めて全体から引いてるんですが、いきなりa<bとa<bは全く同じ場合の数ですよね? << 「a>bとa=bを求めて全体から引いてるんですが」が模範解答のことを言ってて、「いきなりa<bとa<bは全く同じ場合の数ですよね?」が、別解のことを言ってるんですよね? そう、場合の数を求めてから確率を求めて、ってやらなくても、考え方を変えると a>bとa<bの場合の数が同じだ、ということが分かってしまう、というのが別解。 >> イとロで1対とするっていうのは例えばa[1]=2,a[2]=4,b[1]=6とすると{(a[1],a[2]),b[1]}={(2,4),6} と{(11-a[1],11-a[2]),22-b[1]}={(9,7),16}が同じと考えるって事ですか? << ちょっと違う。 「同じ」じゃなくて「ペアにできる」。 例えれば、トランプの赤と黒を対応付けるようなもの。 >> そうだとして、何でこんな事をするんですか?何かメリットがあるんですか? << 模範解答は、場合分けをして数えて、って、それなりに面倒。 ある規則性に気が付くと、場合の数を数えなくても、いきなり答えが出てしまうという。 つまり、楽に解けるのがメリット。 # 入試で、こんなことに気が付くやつは、ほとんどいないと思うけど <tt>:-)</tt> >> b<=10である45×5通りをイで考えれば残り45×5通りはロで考えることになるも何の事か良く分かりません b<=10の時は{(a[1],a[2]),b[1]}で考えて残り45×5通りはロで考えるというのは分けて考えないといけないのですか? << こういうふうに思えてしまうのが、「45×5通り」という書き方の良くないところ(前のコメントで書いた)。 b≦10で分けて考えるのではない。 ペアになる一対を考えたときに、片方はb≦10。もう片方はb’≧12 (b’=22?b)。 45×10=450通りの三つの数字(ふたつのaとひとつのb)の組み合わせを、全部、書き出したとする。 任意にひとつ選ぶと、それに対応するのが、必ずひとつだけ見つかる。 任意に選んだ方が、a>bだったら、それに対応するものは、必ずa<b(そういう風に、対応するものを選んでるから)。 もし、a<bだったら、対応するものはa>b。 もし、a=bだったら、対応するものもa=b。 そうやって、任意に選んだものと、それに対応するものを選んで、取り除いていくと、きれいに 225対のペアが取り出せる。 a=bのペアがいくつあるかは、このやり方だと分からないけど、a<bとa>bの数が同じだということは分かる。 なので、それを取り出す確率(質問で問われていること)も同じ、というふうに導いているのが、別解のやり方。

ronginusuさんのコメント
>例えれば、トランプの赤と黒を対応付けるようなもの。 じゃあa[1]=2,a[2]=4,b[1]=6とすると{(a[1],a[2]),b[1]}={(2,4),6} と{(11-a[1],11-a[2]),22-b[1]}={(9,7),16}は1つのペアなんですね? >ある規則性に気が付くと、場合の数を数えなくても、いきなり答えが出てしまうという これ良く分からないです、規則と言うのはどういう規則なのですか?

a-kuma3さんのコメント
>> じゃあa[1]=2,a[2]=4,b[1]=6とすると{(a[1],a[2]),b[1]}={(2,4),6} と{(11-a[1],11-a[2]),22-b[1]}={(9,7),16}は1つのペアなんですね? << そうです。 >> &gt;ある規則性に気が付くと、場合の数を数えなくても、いきなり答えが出てしまうという これ良く分からないです、規則と言うのはどういう規則なのですか? << 別解に書いてある、これ。 {{a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>}, b<sub>1</sub>} {{11?a<sub>1</sub>,11?a<sub>2</sub>},22?b<sub>1</sub>} aの方だと、10枚並べて、小さい方から何番目、って数えると、同じ距離だけ大きい方から数えたものがひとつ決まる、という規則。

ronginusuさんのコメント
45×10通りの中で{a1, a2}, b1}と {{11?a1,11?a2},22?b1}は違う場合の数と数えますよね?

a-kuma3さんのコメント
>> 45×10通りの中で{a1, a2}, b1}と {{11?a1,11?a2},22?b1}は違う場合の数と数えますよね? << はい、450通りの中では、それぞれ別で数えます。

ronginusuさんのコメント
>a1と、a2 の合計aを考えたときに、対の方はこうなる。 a’=11?a1+11?a2 =22?(a1+a2) >b’=22?b ここなのですがb’=22?bはb’=22?b[1]ですよね?

ronginusuさんのコメント
>a>bのときに、a’とb’の大小関係はどうなるかというと、 ここのaはa[1]+a[2]でbはb[1]の事ですよね?

a-kuma3さんのコメント
>> &gt;a>bのときに、a’とb’の大小関係はどうなるかというと、 ここのaはa[1]+a[2]でbはb[1]の事ですよね? << そのつもりで書きました。 模範解答の別解でも、bとb<sub>1</sub>が混ざってて、紛らわしい <tt>:-|</tt>

ronginusuさんのコメント
ですよね、b’=22?bはb’=22?b[1]じゃないですか? b=b[1]だから同じ事ですか

ronginusuさんのコメント
そしてa≠bであるどの対についても一方はa>b他方はb>aであるからP(a>b)=P(b>a) も何でこのような事が言えるのか分からないです この疑問はa>bとb>aとなる組み合わせが必ず1対存在して同じ数だけあるということだからですよね?

a-kuma3さんのコメント
>> ですよね、b’=22?bはb’=22?b[1]じゃないですか? b=b[1]だから同じ事ですか << そうなんですよね。 b<sub>1</sub> とか書いちゃうから、紛らわしくなる。 bについてる添え字の <sub>1</sub> は、頭から外してください。 >> この疑問はa>bとb>aとなる組み合わせが必ず1対存在して同じ数だけあるということだからですよね? << そうです。 a>bやa<bの場合の数は数えていないけれど、同数になる、というのが分かるから、その確率も等しくなる(確率がいくつなのかは、計算してない)というのが、別解のやり方です。

ronginusuさんのコメント
>a>bやa<bの場合の数は数えていないけれど、同数になる これは対になっているのは分かるんですが、a>bとb>aの数が同じになるというのはどういう所からわかるんですか?
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