人力検索はてな
モバイル版を表示しています。PC版はこちら
i-mobile

6-20 高校数学の確率
問題http://imgur.com/0yWkPci
解説http://imgur.com/OIr3VtK
解説続きhttp://imgur.com/iMBTKqk

解説にP(s<=X<=t)=∫[s→t]f(x)dxとありますが、この式始めてみたのですが、これって確率に定義域みたいなのがある時は積分すれば全部求まるって意味ですか?

(1)で確率密度関数f(x)とありますが、これは何のことなのですか?確率に定義域とかあって何を意味しているのか良く分かりません、又これを求めようとしてP(0<=X<=180)=-3a(e^(-60)-1)まで求めてこれが1になるとあるのですが、1になるというのはどこに書いてあるんですか?何で1になるのか分からないです

(2)は1回の通話時間の平均値がE(X)=∫[0→180]x・ae^(-x/3)dxで求めているのですが、何故1回の通話時間の平均値がこの式で出ることになるのか分からないです

(3)は通話料の平均値が10n円である確率が∫[3(n-1)→3n]ae^(-x/3)dxで出しているのですが
この式で通話料の平均値が10n円である確率が求まるのが何故なのか分からないです

その下の平均値もΣ[k=1→60]10n・3a(e^(-n+1)-e^(-n))で求まるのが何故なのか分からないです


●質問者: ronginusu
●カテゴリ:学習・教育
○ 状態 :キャンセル
└ 回答数 : 1/1件

▽最新の回答へ

1 ● rsc

(1)確率の全合計は1だから。離散型の期待値の計算のときも確率の全合計は1でした。それと同じことです。
この場合、確率密度が0のとこは、確率0だから、0≦x≦180だけ考えればいいです。(^_^;

(2)平均値って、期待値を計算してます。
●期待値

確率論において、期待値とは、確率変数の実現値を, 確率の重みで平均した値である。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%9F%E5%BE%85%E5%80%A4

{期待値}=Σ{確率変数の実現値}×{確率}において、
確率変数はxで、確率は、ae^(-x/3)で、連続型だから積分を使っているようです。

(3)こちらは、確率変数が離散型で、10n。
10n円になる通話時間x、すなわち、3(n-1)≦x≦3nのときの確率は、模範回答の通りの式です。
離散型になっているのでΣ{確率変数の実現値}×{確率}で総和を求めてるようです。


ronginusuさんのコメント
f(x)って通話時間が0分から180分まではae^(-x/3)で180分以上は0という事ですよね?

rscさんのコメント
そうだと思います。(^_^;

ronginusuさんのコメント
通話料が10n円となるのは通話時間が3(n-1)分から3n分でその時の確率が何で積分なんですか?

rscさんのコメント
連続型の確率の定義あたりをみるといいかも。 http://www1.tcue.ac.jp/home1/ymiyatagbt/sils08_09.pdf

ronginusuさんのコメント
読みました、通話時間が3(n-1)分から3n分の確率は何になるんですか?n次第で0から180にも入るし入らないかもしれないですよね?

ronginusuさんのコメント
だからもし、0から180だったら確率はae^(-x/3)ですし、それ以上だったら180分以上の所は0ですよね? 何で積分になるんですか?ae^(-x/3)か0が答えじゃないんですか?

rscさんのコメント
上のPDFに書いてある通り、確率は面積になります。ae^(-x/3)か0は確率じゃなくて、確率密度になっています。(^_^;

rscさんのコメント
>通話時間が3(n-1)分から3n分の確率は何になるんですか?n次第で0から180… 0≦x≦180を3(n-1)≦x≦3nで分けてやればよいのですが、具体的に考えてみましょう。 たとえば、 n=1のとき、3(1-1)≦x≦3*1 ⇔ 0≦x≦3 n=2のとき、3(2-1)≦x≦3*2 ⇔ 3≦x≦6 n=3のとき、3(3-1)≦x≦3*3 ⇔ 6≦x≦9 ... n=59のとき、3(59-1)≦x≦3*59 ⇔ 174≦x≦177 n=60のとき、3(60-1)≦x≦3*60 ⇔ 177≦x≦180

rscさんのコメント
模範解答では、n=1から、n=60まで分けて、総和を求めてるようですね。(^_^;

ronginusuさんのコメント
でも0分から180分となる確立はae^(-x/3)なんですよね、だったら通話時間が3(n-1)≦x≦3nの確率もae^(-x/3)か0になるんじゃないんですか?何で足し合わせるんですか?

rscさんのコメント
>0分から180分となる確立はae^(-x/3)なんですよね これが勘違いのもとですね。ae^(-x/3)というのは、確率ではなく、0≦x≦180の範囲のxにおける確率密度関数になっています。 上のPDFにはその辺のところが、分かりやすく書いてあります。

ronginusuさんのコメント
では通話時間が3(n-1)<X<3nの確率密度関数がae^(-x/3)か0って事ですね?これが分かってどうやって 確率を求めるんですか?

rscさんのコメント
この場合、離散的なので総和で面積を求めます。縦長の短冊を足し合わせるイメージ。(^_^; 上のPDFで言えば、3ページ目の上から2番目のような感じのグラフをイメージして下さい。 n=1のとき、3(1-1)≦x≦3*1 ⇔ 0≦x≦3 ⇒ 10n*{-3a(e^{-n}-e{-(n-1)})}=(10*1)*{-3a(e^{-1}-e{-(1-1)})} n=2のとき、3(2-1)≦x≦3*2 ⇔ 3≦x≦6 ⇒ (10*2)*{-3a(e^{-2}-e{-(2-1)})} n=3のとき、3(3-1)≦x≦3*3 ⇔ 6≦x≦9 ⇒ (10*3)*{-3a(e^{-3}-e{-(3-1)})} ... n=59のとき、3(59-1)≦x≦3*59 ⇔ 174≦x≦177 ⇒ (10*59)*{-3a(e^{-59}-e{-(59-1)})} n=60のとき、3(60-1)≦x≦3*60 ⇔ 177≦x≦180 ⇒ (10*60)*{-3a(e^{-60}-e{-(60-1)})} n=1から、n=60まで、右側の式((10*1)*{-3a(e^{-1}-e{-(1-1)})}から(10*60)*{-3a(e^{-60}-e{-(60-1)})}まで)を足し合わせて総和を求めて面積即ち期待値(平均値)を求めます。 この操作を模範解答では、 Σ[n=1,60]10n・3a(e^{-n+1}-e^{n}) とやっています。ちなみに、-3a(e^{-n}-e{-(n-1)})=3a(e^{-n+1}-e^{n})

rscさんのコメント
あ、上は期待値になってました。(^_^; 確率の場合は、たとえば、 n=1のとき、3(1-1)≦x≦3*1 ⇔ 0≦x≦3のとき ⇒ -3a(e^{-n}-e{-(n-1)})=-3a(e^{-1}-e{-(1-1)})=3a(e^0-e^{-1})=3a(1-e^{-1}) 以下同様にして求めていけばいいと思います。(^_^;

ronginusuさんのコメント
通話料が10n円の時の通話時間は3(n-1)分から3n分で通話時間が3(n-1)分から3n分までの確率を∫[3(n-1)→3n]ae^(-x/3)dxで求めているのですが、3(n-1)から3(n)が0分から180分の間に入っているかどうか分からないので∫[3(n-1)→3n]ae^(-x/3)dxだけで求めるのはおかしいと思うのですが、だって3(n-1)分から3n分の間に180分を上回っている部分があればその部分は0ですよね?

ronginusuさんのコメント
後は自分で考えて見ます
関連質問

●質問をもっと探す●



0.人力検索はてなトップ
8.このページを友達に紹介
9.このページの先頭へ
対応機種一覧
お問い合わせ
ヘルプ/お知らせ
ログイン
無料ユーザー登録
はてなトップ