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鉄球を地面に落とした時に 鉄球は地面に引かれて移動しますが 地球が鉄球に惹かれて超極小量鉄球側に移動しないのはなぜですか?

●質問者: 心は萌え
●カテゴリ:科学・統計資料
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 2/2件

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1 ● hissssa
●50ポイント

移動していますよ。万有引力の法則により、鉄球が地球に引かれるように地球もまた鉄球に引かれていますし、「超極小量鉄球側に移動」しています。
運動量保存の法則や作用反作用の法則にも通じますが、鉄球が地球の重力に引かれての加速で得る運動量と同じだけの運動量は、必ず地球に対しても作用しています。
単に、地球の質量が鉄球より遥かに遥かに大きいので、その移動量が測定できないくらい小さいというだけの事です。


2 ● JULY
●50ポイント ベストアンサー

hissssa さんの通りなのですが、具体的に計算してみます。

万有引力の法則は
万有引力 - Wikipedia
F=G¥frac{Mm}{r^2}
で、G が万有引力定数で 6.67 × 10-11(m3・s-2・kg-1)、M と m がそれぞれの質量で、r が2つの物体の間の距離です。

地球が鉄球に引っ張られる力も、鉄球が地球に引っ張られる力も同じで、前述の式に具体的な値を入れれば計算できます。

一方、運動方程式は
ニュートンの運動方程式 - Wikipedia
F=ma
(m は質量、a は加速度)なので、これと、万有引力の式から、万有引力によって、地球と鉄球がどのくらいの加速度で動きだすか、が計算できます。

地球の質量を M、鉄球の質量を m とすると、鉄球が引っ張られて動く時の加速度は、
ma=G¥frac{Mm}{r^2}
a=G¥frac{M}{r^2}
になります。
同様に地球が引っ張られて動く加速度は、
a=G¥frac{m}{r^2}
になります。

この式から、引っ張られて双方が動き出す加速度は、相手の質量の大きさに比例する事が分かります。

地球 - Wikipedia
地球の質量は 5.972 ×1024 kg なので、仮に鉄球が 1kg だとすれば、鉄球の加速度に比べて、地球の加速度は 5.972 ×1024 分の 1 ということになります。

実際の数値で計算すると、鉄球が地球の中心から 10000 km(= 10000000 m)離れた場所に 1kg の鉄球があった場合、

鉄球の加速度 = 6.67 × 10-11 × 5.972 ×1024 ÷ 100000002 = 3.98 m/s
地球の加速度 = 6.67 × 10-11 × 1 ÷ 100000002 = 6.67 × 10-25m/s = 0.000000000000000000000000667 m/s

となります。

鉄球が1秒間に 4 m ほど、地球に近づくのに対し、地球の方は、原子核の大きさ(約 1fm = 10-15 m)の更に 10 億分 1 の距離しか動かない、という事になります。
フェムトメートル - Wikipedia


JULYさんのコメント
はてブで「加速度だから1秒間に 4m じゃない」というコメントがあったので補足しておきます。 最初の状態から1秒後には、4 m/s の速度になる、なので、確かに「1秒後に 4m」は不適切な表現でした。 1秒後から2秒後の1秒間で、おおよそ 4m 近づく、の方がより適切ですが、地球と鉄球の距離が近づけは、引力も強くなり、加速度も増すことになるので、厳密には積分する必要があります。 なので、「まぁ、そのくらいの尺度」ということで、ご勘弁下さい。

JULYさんのコメント
もうちょっと厳密に。 距離が近づく事によって加速度が増す分を無視するとして、加速度 a の時に t 秒後の距離は at^2 / 2 なので、鉄球の移動距離は 4×1^2÷2= 2 (m) (1秒後) 4×2^2÷2= 8 (m) (2秒後) ですね。あっ、だいぶ数値が違う(^^; ちゃんと計算してから書けよ>自分。
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