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次の場合の確率とその計算方法について教えて下さい。

あるクラスには8名の生徒がいます。
その生徒が1〜10までの数字からそれぞれ3つ選んだ場合、その選んだ数字の何れかが他の生徒と重複する確率とその求め方を教えて下さい。

●質問者: 匿名質問者
●カテゴリ:科学・統計資料
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 3/3件

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1 ● 匿名回答1号
ベストアンサー

??? どう考えても100%だと思いますが・・・・。
8名の生徒が3つの数字を選んで、そのすべてが他の生徒と異なるためには、最低でも選択する数字は8×3=24個必要です。
選択肢が10個しかないなら、100%確実に誰かが誰かと一致しますよ。

一般に、こういう「複数人の選択の誰かが誰かと一致する確率」の計算は、その逆である「全員の選択が相違する確率」を求めてから計算します。全員の選択が相違する確率がX%なら、誰かが誰かと一致する確率は(100-X)%になります。

具体的な計算方法は「誕生日のパラドックス」という話を調べれば分かります。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AA%95%E7%94%9F%E6%97%A5%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9


匿名質問者さんのコメント
生徒が数字を引く際は常に1〜10の数字を毎回選べる状態ですので、24枚の数字は必要ないのではないでしょうか。 こちらの記載が不足したようですみません。

匿名回答1号さんのコメント
一人の生徒が同じ数字を複数選ぶことも可能という事でしょうか。であれば可能ですが。

匿名質問者さんのコメント
いえ、一人の生徒が数字を選ぶ場合は、同じものは選べない(1から10のカードの中から3枚を同時に選ぶ為)前提でおりました。 どうもこれは現実的ではない(つまり、数学上の確率でいうと、必ず重複してしまう)ということのようですね… 素人考えですが、例えばさいころを振って同じ目がでる確率のように何かそれっぽい数字になるのかと考えていました。

匿名回答1号さんのコメント
選びうる選択肢より選ぶ人の方が多い場合には、必ず重複が発生します。 サイコロの例でいえば、7人以上の人間が一回すつサイコロを振れば、サイコロの出目が1?6しかない以上、絶対に誰かと誰かは一致するわけです。

質問者から

なお、生徒が数字を引く際は別な生徒の抽選の影響はうけずに、常に1?10の数字からそれぞれ3枚選びます。


2 ● 匿名回答2号

カードを引いて選ぶと解釈して、生徒が変わるたびに数字が書いたカードを「戻した」としても、どこかで一致する確率は1です。なぜならば、余事象を考えれば、どこも一致しないようにするには3×8=24枚必要ですから10枚ならどこかで一致せざるを得ません。

生徒を1人固定してその生徒の選んだ数字の何れかが他の生徒と重複する確率と解釈するのですか。生徒が変わるたびに数字が書いたカードを「戻す」と解釈した上で。それならこうなります。

余事象を考える.

その生徒(生徒1とする)が3つ選ぶ。
余事象だから、その生徒が選んだものと1つも一致しないように他の生徒が選べば良いので、生徒2(と呼ぶ)が最初に選ぶのは生徒1の3つ以外であれば良いので7/10で、その条件下で次に選ぶのは今選んだもの以外の9個のうちから生徒1の3つ以外を選べば良いので6/9で、これまでの条件下でその次も同様に5/8となるので、生徒2が一致しない確率は7×6×5/10×9×8=7/24となる。生徒3から生徒8(と呼ぶ)についても同じ。よって、余事象の確率は(7/24)^7となる。求める確率は1-(7/24)^7となり、簡単な形にはならない。小数で書くと0.9998…となる。


匿名質問者さんのコメント
なるほど、結局最初の方が回答されたようにこの条件では絶対に重複してしまうということなのですね。 感覚的にはそういう現象(つまり重複しない数字が選ばれる可能性)も起きるのではないかなと考えていたのですが、計算上は絶対にいずれかの数字が誰かが選んだ数字と重複してしまうことになるのですね。

3 ● 匿名回答3号

ちょっとまて。
出題者は「1?10の 自 然 数 」から選ぶのだなんてひとこともいってない!

1.01やら3/√2やら1+3iやらから自由に選べるんだから生徒が数学科の大学生なら重複確率は限りなく0に近いかもしれないぞ!

ま、「好きな数字」=「自然数」であることもままあるから事象の独立性が確保されてたらだいたい100%重複するやろとかね、そりゃ心理学じゃー!(笑)

って途中のコメントで3「枚」ってカードにしちゃってるしぃ…

はあ…理系回答者やめようかな…


匿名質問者さんのコメント
なるほど、自然数ということを記載していないと大変なことになるのですね。 勉強になりました。
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