サーバーの生ログを見るには管理社権限が要ります。つまりサーバまるごとレンタルしないと無理です。
ユーザーアカウントでアクセスログをとるには、アクセスカウンターを設置するか、アクセスを記録するコードをページに埋め込めばよいと思います。
GMOクラウドレンタルサーバーはいかがでしょうか。
ビジネスサーバーなら700円からあります。
ちょっと予算オーバーかな。
http://support.gmocloud.com/shared/guide/webmanager/web01.html
こちらはいかがでしょうか。
http://www.futurism.ws/server/hosting.html
http://www.futurism.ws/server/support/0040.html
年単位の契約のようですが、月当たりは550円です。
こちらは、apache のログかどうかが不明なのですが安いです。
http://www.domainking.jp/server/function.html
http://www.domainking.jp/server/price.html
12ヶ月契約だと、月額300円です。
AWSはいかがですか??
1年間はWebサーバ1台、DB1台、キャッシュサーバー1台無料で仕様できます。
詳しくは
http://aws.amazon.com/jp/free/
AWSは多くの有名な企業で使われているので、勉強して損はないと思います。
さくらインターネットでアパッチのログを見たりするなら、VPSレンタルでできたような気がします。