人力検索はてな
モバイル版を表示しています。PC版はこちら
i-mobile

【頑張れ受験生】 数学の整数問題です。存在する場合は具体例を挙げ,存在しない場合は証明を与えて下さい。

(問1)ゾロ目の平方数は存在するか?

(問2)ゾロ目の素数は,11以外に存在するか?

※ただしゾロ目とは,10進数で表記した際に,
全ての桁が同じ数であるような2ケタ以上の自然数を言う。
また平方数とは,ある自然数の2乗であるような数のことを言う。

●質問者: lang_and_engine
●カテゴリ:学習・教育 ネタ・ジョーク
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 1/1件

▽最新の回答へ

1 ● rsc
ベストアンサー

ぞろ目の数の一般項は、m=1?9、n≧2の整数として、次式で表すことが出来る。
m¥times¥frac{10^n-1}{9}…(1)
(問1)
100を法として、平方数の合同数は、以下の通り。
1,4,9,16,25,36,49,64,81,0,21,44,69,96,25,56,89,24,61,0,41,84,29,76,25,
76,29,84,4,1,0,61,24,89,56,25,96,69,44,21,0,81,64,49,36,25,16,9,4,1,0,…(循環)…
よって、44以外の、11?99と合同な平方数は存在しない。
また、44(m=4)のときも、(1)式から
4¥times¥frac{10^n-1}{9}=2^2¥times¥frac{10^n-1}{9}
となって、結局、m=1の場合(レピュニット)に帰着されて存在しない。(^_^;

(問2)
(1)式から、m=1以外のときは約数をもつので駄目。よって、題意のゾロ目は、レピュニットになるはず。
下記URLによると、n=19,23,317,1031,…らしい。(^_^;
●レピュニット
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%83%94%E3%83%A5%E3%83%8B%E3%83%83%E3%83%88


lang_and_engineさんのコメント
参考文献URL付で回答してくださり,ありがとうございます。 有用な情報を提供してくださったので,感謝の気持ちで,さきほど50ポイント送信しました。 問1ですが,根気強く循環を見つけ出す作業はとても大変だったと思います。 循環を見つけ出す部分は,どうやらもっとスマートに論述できるようです。 何かもっと小さい,できれば1ケタの数を法とした剰余で,平方数を分類し ゾロ目になれないことを示せるようです。

rscさんのコメント
ありがとうございます。m(_ _)m a≧0,0≦b≦9の整数とすると、 (10a+b)^2 Mod 100=(100a^2+20ab+b^2) Mod 100=(20ab+b^2) Mod 100 ここで、a=5n+c(n≧0, 0≦c≦4の整数)とおくと、 (20ab+b^2) Mod 100={20(5n+c)b+b^2} Mod 100=(100n+20bc+b^2) Mod 100=(20bc+b^2) Mod 100 となり、0≦b≦9,0≦c≦4の整数だから、50個位で循環するようです。 受験生じゃないから、Pythonで計算したので楽でしたが、まぁ、確かに受験生だと50個も計算するのは大変でしょうね。(^_^;
関連質問

●質問をもっと探す●



0.人力検索はてなトップ
8.このページを友達に紹介
9.このページの先頭へ
対応機種一覧
お問い合わせ
ヘルプ/お知らせ
ログイン
無料ユーザー登録
はてなトップ