墨田区でございますがこちらが中央区から一番近い救急を扱っておる動物病院でございます｡
夜間救急動物病院 | ひがし東京夜間救急動物医療ｾﾝﾀｰは年中無休･深夜3時までの夜間診療専門の動物病院です｡

こちらは品川区でございますので先ほどの病院よりも少々遠いのでございますが中央区の場所によってはこちらの方が最寄になるかと存じます｡
東京 夜間救急動物病院 |東京動物夜間病院は夜間救急対応し､東京都内品川区の動物病院です｡休日診療あり｡夜間､夜中､深夜の救急動物病院です｡東京都内､品川区､目黒区､大田区､渋谷区､港区､中央区,文京区,江東区,新宿区,台東区,墨田区,杉並区,豊島区,中野区,荒川区,

こちらの病院はかかりつけの患畜については救急を扱うそうでございます｡
もしもの場合に備えてのご質問であれば普段こちらをご利用なされるのもよろしいかと存じます｡
日本橋動物病院 中央区 水天宮駅 人形町駅近く|診療内容と料金案内

夜間往診専用のﾍﾟｯﾄの救急車です｡
http://www.help-life.com

こちらに時間外対応の動物病院の一覧がありますのでご参考に｡

http://www.wancoco.com/hospital/#03

こちらを見つけましたのでお伝えしますね｡
少しでもお役に立てましたら幸いです｡
http://peco-japan.com/1214
2015年最新版【東京23区内】時間外､緊急急患の診療が可能な動物病院一覧【夜間･救急】

これによりますと中央区には対応の病院がないようですが､往診での対応動物病院の一覧もあり東京23区内対応の所もあります｡