そのwp-mailの中にログを作成するようにコードを追加すればいいのではないでしょうか。
wp-mail の送信先に設定しているサーバの運営に問い合わせるしかありません。通常メールサーバを提供しているところでは、送信ログを残していることは極まれだと思いますが。