どういう職業か知りませんが､
ﾘｸﾅﾋﾞ､ﾏｲﾅﾋﾞ､ｴﾝｼﾞｬﾊﾟﾝ､DODA､等の転職ｻｲﾄで見てみては？
ﾊﾛｰﾜｰｸでもいいと思いますが｡

今やっている仕事と似たようなしごとを探すのであれば､
人脈･口ｺﾐ･ﾂﾃ･ｺﾈが大事です｡
??士の資格を持っている人なら??士会ﾎｰﾑﾍﾟｰｼﾞに各種の求人が載せられますので､
そこから探すのが効率がよいです｡

福岡移転と同時に転職までする覚悟があるのであれば､
全職種でかまわずに探すしかありませんね｡

九州の転職･求人情報 | 転職ｻｲﾄは【ﾏｲﾅﾋﾞ転職】
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福岡県のｱﾙﾊﾞｲﾄ･ﾊﾞｲﾄ求人情報｜【ﾀｳﾝﾜｰｸ】でﾊﾞｲﾄやﾊﾟｰﾄのお仕事探し
http://www.hatalike.jp/h/r/H100020s.jsp?LA=040

いっぱいありすぎて絞り込むの大変そうですががんばってください｡
一応転職ｻｲﾄのまとめｻｲﾄ
http://www.best-w.com/ranking-sitelp.php?gclid=CIiQyZ2PysUCFYUAvAod5zQAKg
東京むけっぽいですけど｡

https://www.hellowork.go.jp/servicef/130020.do?action=initDisp&screenId=130020
ﾊﾛｰﾜｰｸだと中小の人が欲しいところが出していると思います｡なかなか人が取れずに､広告費を無駄遣いしたくないということで公的機関を利用しているｹｰｽが多いと思いますので､採る方もｼﾞｯｸﾘ型が多いのかと｡
ｴｰｼﾞｪﾝﾄは大き目の企業が中間ﾏｰｼﾞﾝを払ってでも､､､というｹｰｽが多いと思います｡
ﾘｸﾅﾋﾞ､ﾏｲﾅﾋﾞなどの大手求人会社の方が入社はしやすいかもしれません｡

福岡県への移住促進ﾌﾟﾗﾝでの仕事斡旋
http://ijuu-teijuu.pref.fukuoka.lg.jp/municipalities/information/works

なぜ福岡市なのか？
というところから整理してみてはいかがでしょうか｡