背理法を用いた証明について質問です｡お力添え頂ければと思います｡ Question. a,bを整数とする｡a^2+b^2が3で割り切れるならば､a,bはともに3で割切れることを､背理法…

人力検索はてな

ﾓﾊﾞｲﾙ版を表示しています｡PC版はこちら

背理法を用いた証明について質問です｡
お力添え頂ければと思います｡

Question.
a,bを整数とする｡a^2+b^2が3で割り切れるならば､a,bはともに3で割切れることを､背理法を用いて証明せよ｡

証明なんですが､まず初めに整数a,bを他の文字､例えばm,nを用いて3の倍数で表しますよね｡
(1)a=3m,b=3n(m,nは整数)
これと3の倍数ではない場合という条件を提示します｡
(2)a=3m, b=3n±1
(3)a=3m±1,b=3n
(4)a=3m±1，b=3n±1

ここで質問なんですが､整数a,bの場合としてなぜ(2)､(3)､(4)が適当なんでしょうか？
また､この条件を表す時に､仮に±3では3の倍数ですので､比較対象の(1)に対して意味をなさないと思うのですが､それでは±2などではだめなんでしょうか？

どうかご教示よろしくお願いします:)

●質問者: youmin8972
●ｶﾃｺﾞﾘ:学習･教育
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 2/2件

▽最新の回答へ

▽1 ● みやど

> ここで質問なんですが､整数a,bの場合としてなぜ(2)､(3)､(4)が適当なんでしょうか？
そう｢しなければいけない｣わけではありません｡そうしておくと計算が簡単で､場合分けが余り繁雑にならずに済むだけです｡ただし(4)は複号同順でなく複号自由であることに注意を要します｡

±2でも別にかまいませんが､計算が面倒になります｡

▽2 ● jan8

｢a,bはともに3で割切れる｣事を下の数式で表したのですから､

(1)a=3m,b=3n(m,nは整数)(aは3で割切れる｡bは3で割切れる｡)

｢a,bはともに3で割切れる｣を満足しない場合を網羅するには

(2)a=3m, b=3n±1 (aは3で割切れる｡bは3で割切れない｡)
(3)a=3m±1,b=3n (aは3で割切れない｡bは3で割切れる｡)
(4)a=3m±1，b=3n±1(aは3で割切れない｡bは3で割切れない｡)

と表すのが適当です｡

網羅性を高めるには3m+1､3m-1､3m+2､3m-2､3n+1､3n-1､3n+2､3n-2を検討すべきですが､｢3で割切れるか否か｣は自明なので､全て網羅する必要はないのでは？と思います｡

みやどさんのｺﾒﾝﾄ
> 網羅性を高めるには3m+1､3m-1､3m+2､3m-2､3n+1､3n-1､3n+2､3n-2を検討すべきですが､｢3で割切れるか否か｣は自明なので､全て網羅する必要はないのでは？と思います｡例えば3m+2はM=m+1とおくと3M-1と書けます｡ですから3m-1と3m+2を重複させる必要はありません｡そういうことです｡重複はあって間違いではありませんが､漏れがあってはいけません｡

jan8さんのｺﾒﾝﾄ
あ､そうか！すいません｡