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中3です。有理数と無理数の見分け方がいまいちわかりません。
なにかわかりやすい簡単な見分け方や、コツなどを教えていただきたいです。


●質問者: 匿名質問者
●カテゴリ:学習・教育 科学・統計資料
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 7/7件

▽最新の回答へ

1 ● 匿名回答1号

もし分数にして表現できる場合は有利数です。
それ以外の数は無理数です。

平方根をとる(ルートに入れる)とき、ルート9=3などとルートをはずせるものは有理数であり、それ以外は無理数です。
円周率も無理数となることがわかっています(平方根の仲間になります)

無理数を含むの四則演算をするときは、
ルート3×ルート3=3
のように有理数になるものがたまにあり(特殊ケース)、残りは無理数となります。

わかりにくいですが
1/(ルート3+1) ? 1/(ルート3?1)のような一見無理数のままになるはずのものも有理数になることがあります(この計算結果からルートをはずすやり方はこの先習います)
無理数の計算結果は、たまたま有利数になるもの以外は、無理数です。


匿名回答2号さんのコメント
[tex:\frac{1}{3}] は、有理数。

匿名回答1号さんのコメント
わあ、まちがえておぼえてました。訂正しておきます。

匿名質問者さんのコメント
回答ありがとうございます。 例えば分数で、分母に√がついている場合でも有理化したら大体無理数なのでしょうか?

匿名回答1号さんのコメント
有理化して有理化できるものはもともと有理数だったのです。

匿名回答1号さんのコメント
見分ける方法は、式の形であれば有理化が可能かどうか。 √6372だけであれば素因数分解です。 どうしてもすぐにというなら今は電子計算機があります、関数電卓もあります、たとえばエクセルに =1/(sqrt(3)+1)-1/(sqrt(3)-1) とか =sqrt(6372) と入力すれば一発でわかります。 左は整数になり有理数とわかります。 右は整数でないためルートが残る、すなわち無理数であることがわかります。

2 ● 匿名回答3号

-有理数は循環小数になります。
1/4=0.2500000000000000000000000000000...
1⁄6=0.1666666666666666666666666666666...
1⁄7=0.1428571428571428571428571428571...

-無理数は循環小数になりません。
√2=1.4142135623730950488016887242096...
√3=1.7320508075688772935274463415058...
√5=2.2360679774997896964091736687312...

※ 0が続く循環小数は特に有限小数といいます


匿名質問者さんのコメント
例えば√21のときや√6372などはパッと見ただけでは無理数か有理数か迷ってしまうのですがこんなときはどうすればよいですか?

匿名回答3号さんのコメント
循環節が長いと、パッと見ただけでは無理数か有理数か迷ってしまいますね。 その意味では「わかりやすい簡単な見分け方」にはなりませんね。

質問者から

補足です。循環少数が有理数で無限小数が無理数なのはわかりました。
では無限小数は無限に続くのになぜ『無限に続く』と言いきれるのですか?
無限に続くならいつかは循環少数のようにどこかを区切りとして循環していることも考えられるのではないのでしょうか
多分わたしはそこのあたりでこんがらがっているのだと思います。


3 ● 匿名回答1号

まず、https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E7%90%86%E6%95%B0より「オイラー定数 γ, π + e, eπ, その他 P(e, π)(P(X, Y) は X, Y 双方について次数が 1 以上である多項式)は有理数であるか無理数であるか知られていない。eのe乗, πのe乗, πのπ乗 といった数も同様である。」
不特定の数を見てそれが有理数か無理数かを完全に判定することは人間にはまだできていません。
中学であれば、ルートが残存する数はおよそ無理数、割り算でつくられる数は循環小数だが有理数といえます。
また、循環小数をみてもとの割り算の形になおすことはできます。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AA%E7%92%B0%E5%B0%8F%E6%95%B0
の「分数表現との関係」にあるやり方で割り算表記にもどせます。
ただし、実際無限につづく小数だと、ランダムに出てくる数のならびがたまたま循環小数に見える部分があったのか、本当に最後の最後までずっと循環小数なのかわかりません。
たとえばπにも30桁くらい同じ数字の繰り返しになる部分があるそうです。そのあとまたランダムっぽくなります。30桁も同じ数がつづいたからといってそこを最後まで同じ繰り返しだろうときめつけ、πは有理数だ!と決めつけてはいけないわけです。


4 ● 匿名回答4号

既に出ている回答への補足ですが、ある数が有理数か無理数か、というのはそれ自体が数学上の大問題になることがあるくらいで、「簡単な身分け方のコツ」というのは難しいです。例えば過去の京都大学の入試に「tan 1°は有理数か」という問題がありました。(tanはまだ習っていないかもしれませんが、一方の角がうんと尖った(1°)直角三角形を描いた時、直角をはさむ一方の辺の長さをもう一方の辺の長さで割った数が有理数になるか、という問題と考えて良いです。) 上の回答にあるように、まだ有理数か無理数かわかっていない数というのもたくさんあります。

小数表現を見ただけではわかりません。質問者さんが疑問に思うとおり、「無限に続く」かどうかは、実際に無限に書き出すことができない以上、数字を見て判断しようがないわけです (本当に無限に続くかは証明の問題になります。よくあるのは、「どこかで循環すると仮定して論証を進めると矛盾が生じる。よって循環せずに永遠に続く」という形式の証明です。) 計算機で計算してみるのもあてになりません。計算機は有限の精度でしか計算できないので、結果が整数に見えたとしても、実は整数に非常に近い無理数なのかもしれないからです。

結局、「整数a, b (b≠0) を使って a/b と表せるなら有理数」という定義に戻って、

(1) 式を変形していってa/bにできれば有理数。有理数の有限回の加減乗除で得られる数も有理数。

(2) 「a/bの形にできるとしたら矛盾が生じる」なら無理数

のどちらかに地道に帰着させるしかないです。

ただ、√2、√3、πなど無理数であることが知られている数はあるので、

(2') 求める数が rx + q (xは無理数であることが知られている数、rとqは有理数) の形になったなら、無理数

を使っても良いです。(2'が2と等価である証明は考えてみてください。)


匿名質問者さんのコメント
回答ありがとうございます >「簡単な身分け方のコツ」というのは難しいです そうなんですか…それでは地道にこんな数は無理数って覚えていくしかないっぽいですね。 丁寧に説明してくださりありがとうございます。

匿名回答8号さんのコメント
(2')はr≠0

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