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http://q.hatena.ne.jp/1458831516

πが無理数だというのを、数学に詳しくない人でもわかるように説明してくれ。頼む。

※数学としては算数レヴェル希望。文系でもわかる説明は高度でも可。

●質問者: 只野迂舞某
●カテゴリ:学習・教育
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 2/2件

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1 ● なぽりん
●50ポイント

※口調を中学生(想定)向けにしています。鼻についたらすみません。

まってまって?、それは君が本当に聞きたいこととは違うよ。永遠に続く小数のことを全部無理数っていうんじゃないよ。

無限小数で0.33333…ってあるけどこれ「1/3」って分数で書けるね。永遠に続くけど、永遠に続く小数のうち、分数でかけるものは「有利数」、そうでないものは無理数なんだ。(たしか中学の後半で習うよね)

きみはπが無理数であることを証明してほしいんじゃなくて、それ以前の段階で、永遠に続く小数であるってことを証明してほしいんだよね。
でもね、じゃあ、0.333333…だって納得いかないだろ。1を3で割ったら、どこかで突然、細かすぎて余りがなくなって、割り切れるかもしれないじゃないか。これにどう反論する?
たぶん同じ計算が続くから予測できるんだ、っていうんだろうね。1に0をつけて3でわって3あまり1、またその余った1にゼロをつけて…。全く同じことの繰り返しだから簡単に予測できるな。

きみが反論したのと同じというか、もうちょっと詳しいやりかたで、円周率は割り切れないことが「予測」されてるんだ。その予測は事実だと検証されたので証明ともいう。
でもそれには大学で習う数学をつかわなきゃだめだね。ルート2が無限につづく小数である(どこかの桁で割り切れない)ことも高校までの数学では証明できないんだから。(中学で有理数・無理数という言葉をつかいつつ事実として習いはするけれど)

こっちなら大学入試くらいの数学をやっている人ならわかりやすいとおもう。
円周率が22/7より小さいことの証明 - Wikipedia
最後のほうに、πを分数と比較しながら求めるための一般式がでてくる。
「有理数だが無限小数である分数」をいくつも足しあわせて、「π」により近づいた形のものを表現しようとしているんだね。この式の「n」の部分を4の倍数で4,8、12、16…とすすめていけば手持ちのコマは無限にπというゴールにちかづいていくのらしい。
ここで、やってるのは、割り算と割り算の引き算。つまり無限小数と無限小数の引き算。その結果も、無限小数になる。じゃあ、どうにかちかづけようとがんばっているゴールであるπも無限小数なんだろうという直感がしてくるんじゃないかな。数学的には全然意味のない仮定だけどね。
(数学者だと逆に、いかに無限小数どうしといえど、πという無理数を有理数で完全に表現することは不可能という証明が存在する、なんならその証明を自分が作るためにガンバルゾ、という言い方をするとおもう。ややこしい連中だ。そもそもどれだけ「ゴール」の形をしりたかったか、有限小数か無限小数の合間かがぼんやりしていかに不愉快だったかについてはいっしょに考えてはくれないんだ。ところで足し算でどんな形にもするってのはフーリエ変換みたいな話だけどこっちはこっちでまたややこしいからほうっておこう…)


√5が無限小数であることを証明するための参考資料はないか。 | レファレンス協同データベース←最終的には「中学教科書に書いてあるから」という解答…。でももう一つの本はおもしろそう。


a-kuma3さんのコメント
>> ルート2が無理数であることも高校では(事実として習いはするけれど)証明できないんだから。 << 高校の数学の範囲で、証明できます。 入試にも出たりします。

なぽりんさんのコメント
http://mathtrain.jp/sqrt2irrational いやそうなんだけど、この式見ても「ルート2は無理数であるから無理数である」としかいってないように聞こえるとおもうんだよね、文系の考え方だと。え、結局同じことを言ってるんでしょ?無理矢理式をつくって等式の形をかえても本質は同じでしょ?という。有理数か無理数かの区別よりも無理数はすなわち無限小数である。という証明が納得できるように説明できないという話なので、本文ちょっとなおしておきます。

なぽりんさんのコメント
逆にそこにある無限小数を有理数/無理数に分けてるだけですよね。じゃあ無限小数はどうして無限なの。という話ですよねこれ。どうして円周率は3じゃないのと。「円周率は無限小数です」を前提にしてお話をつづけてたら混乱するんじゃないかな。

a-kuma3さんのコメント
>> 「ルート2は無理数であるから無理数である」としかいってないように聞こえるとおもうんだよね、 << 文系でも、命題の証明というのはあると思うので、最初から理解するのを拒否しているのでは無ければ、 「ある仮定をする→それに基づいて何かする→最初の仮定と矛盾する→最初の仮定が間違いだ」というふうに読めると思うんですけど。 さすがに、小学校6年までの授業内容では厳しいとは思います。 >> 逆にそこにある無限小数を有理数/無理数に分けてるだけですよね。 << >|| 数 ├ 有理数 | ├ 循環しない小数 | └ 循環する小数 └ 無理数 ||< 有理数を循環する/しない、で分けるのは、見方の一面でしかないですけれど。 で、循環する/しないは、あくまでも表記の話なので。 十進数表記での少数だから循環する。 例えば、[tex:\frac{1}{3}] は、三進数表記なら 0.1 です。 # πの話からはそれますが。 後、「背理法、なにそれ?」ってのはあるかもしれません(理系/文系にかかわらず)。

なぽりんさんのコメント
っていうか10進法ではたまたま無限に割り切れないだけでπ進法があったらπは1だよねー とかいってたらオイラーさんに怒られそう

なぽりんさんのコメント
あっおなじようなことを3秒差でw まって無理数の外のわくに虚数がないわよ!

a-kuma3さんのコメント
>> どうして円周率は3じゃないのと << これは、小学生でも分かりますよね。 # ん、円周の長さを求める公式は小学校で習ってたっけか?

なぽりんさんのコメント
あと文系だと循環しない小数←整数も含む とかいわれると急になんだそれ!っておこられるともいます小数は小数で整数は整数だろこらー!

なぽりんさんのコメント
無限小数という奇抜なアイデアが所与のものとして語られていることの違和感でしょうね。茶筒にメジャーまいて割り算したいかどうかはともかくとして。

a-kuma3さんのコメント
忘れてました >虚数 アイを忘れてしまった俺が居る……

a-kuma3さんのコメント
>> 茶筒にメジャーまいて割り算したいかどうかはともかくとして。 << ああ、そういうのもありますか <tt>:-)</tt> 円の中に正三角形をむっつ書くのをイメージしてました。

なぽりんさんのコメント
それは単なる不等式になるのでは。 ルート(二乗根)の手計算なら中学生のときの塾でならったけど、πはどうしても手計算がむずかしいし、大学のテストでも桁数指定で必ず「与えられる」値ですよね。

a-kuma3さんのコメント
>> それは単なる不等式になるのでは。 << 3 より大きいって分かるじゃないですか(「どうして円周率は3じゃないのと」へのコメントです)。 ピタゴラスの定理を習うと、[tex:2 \sqrt{3}] より小さいことも分かる。

なぽりんさんのコメント
ふむ。これから他出しますのであとは質問者さんにおまかせします?

只野迂舞某さんのコメント
とりあえず、√2が無理数の4つの照明の内、上の二つはなんとなく理解できました。ためになります。

多食斎友好=世田介さんのコメント
つまらん指摘です。内容記述に関係ない 分数でかけるものは「有利数」、 、√2が無理数の4つの照明の内、 すみません、私も誤変換は得意です。

2 ● a-kuma3
●50ポイント

要は出てきた式を片っ端から理解してけってことになるんですかね。わかんなかったら調べて理解していく。
数式を理解せずとも、”どういう意味合いで作られた、生まれた式なのか”がわかれば数学知らなくても理解たりしないかなとか思ったのは甘かったですかね。

それぞれの式をどうやって変形したりするかは理解できなくても、変形したりする方法があるんだ、という理解ができれば、納得はできるんじゃないかな、と思います。

円周率が無理数だってことを証明する方法はいくつもあるのですが、具体的にブツを見た方が話が先に進むと思うので、ググってみました。
ざっと検索した中で、式が追いやすい雰囲気で、前提と結果が矛盾しているというのが分かりやすいのがここかな、って思った。
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/mondai/node25.html
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/mondai/node26.html#k029

「ニーベンの証明」とか言うらしい。
積分だ級数だとかってでてきますけど、自分で解かなきゃいけないわけじゃないので、次にいけるんだ、くらいで良いのかな、と。
流し読みした感じでは、ぼくは小問2 の冒頭が説明できない 最後のところが、もごもごって感じかな (´・ω・`)


これをオブラート一枚包むと、一挙にここまでうすらぼんやりとします。

  1. ある式、I_n を考えます
  2. ¥pi を有理数と前提に置くと、n をそれなりに大きくすると、I_n の範囲は 0 < I_n < 1 になります
  3. また、同じ条件で別の計算をすると I_n は整数になる、という計算ができます
  4. 2 と 3 は矛盾する内容なので、¥pi が有理数だという前提が間違っているということが分かります



あと、「どういう意味合いで作られた、生まれた式なのか”がわかれば」というコメントがありましたが、円周率が無理数であることを証明するために編み出した式だと思います。
図形問題の補助線のように、「どうして、そこに線を引かなきゃいけないんだ」みたいな道具。


a-kuma3さんのコメント
どこまで見る気になるか、というところからスタートで。

只野迂舞某さんのコメント
ある式Inでなえました。Iってなんやねん。nって何? で。 SEだったのでf(x)とかなら、まだ馴染があるんですけど、Iってなんなんでしょう? そこがクリアになったら、次は、2の「πを有理数と前提に置くと、n をそれなりに大きくすると、I_n の範囲は 0 < I_n < 1 になります」で?が一杯になります。 その辺がクリアになればなんとなくわかりそうな説明ではあります。

a-kuma3さんのコメント
>> ある式Inでなえました。Iってなんやねん。nって何? で。 SEだったのでf(x)とかなら、まだ馴染があるんですけど、Iってなんなんでしょう? << [tex:I] は、インテグラル(積分)のアイかな。 関数を function の f を取って、f(x) ってやるのと、同じノリです。 ふたつ関数が欲しいと、f の次で、g(x) を使ったりしますが、その程度の記号。 n も、連続値ではなくて、整数が入るよ、という意味の n 。 ニーベンの証明だと、Wikipedia を含め、こっちの書き方をしてるところが多い気がします。 [https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87%E3%81%AE%E7%84%A1%E7%90%86%E6%80%A7%E3%81%AE%E8%A8%BC%E6%98%8E#.E8.A8.BC.E6.98.8E:title] こっちだと、F(n) って書き方をしてます。 ある関数 f(x) を積分したのを F(x) と大文字で書く習慣があるので、そういう書き方をしてるんでしょう。 証明の流れとしては、わけの分からない F(x) も持ち出した後に、F(x) の特定の値がある積分と同じになることを、って回答に書いたところとは逆になってますが。 「取り出だしたる、何の変哲もない [tex:I_n] という数列。 タネも仕掛けもございません。 変哲もないと言うには、少々、込み入った式ではございますが、私が考案したこの数列を使うと、あら不思議。 円周率が無理数だという証明ができてしまうのでございます。 これからお話し致しますのは、その証明に至るまでの顛末でございます。 しばしの間、お付き合いしていただければと存じます」 って感じ。 >> そこがクリアになったら、次は、2の「πを有理数と前提に置くと、n をそれなりに大きくすると、I_n の範囲は 0 < I_n < 1 になります」で?が一杯になります。 << [tex:I_n] は数列の一般項。n には 1, 2, 3, ... と入ります。 計算してみますか。 計算には、WolframAlpha を使います。 n = 1 のとき([tex:I_1])は、こうです。 [http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+1%2F1!+x%5E1+(22+-7x)%5E1+sin+x+from+0+to+pi:title=integrate 1/1! x^1 (22 -7x)^1 sin x from 0 to pi - Wolfram|Alpha] 既に 1 を超えてます <tt>:-)</tt> 並べてみますか。 - [tex:I_1] = 28.028 - [tex:I_2] = 209.17 - [tex:I_3] = 1076.3 - [tex:I_4] = 4242.14 - [tex:I_5] = 13570 - [tex:I_6] = 36554 - [tex:I_7] = 85079 - [tex:I_8] = 174359 - [tex:I_9] = 319241 - [tex:I_{10}] = 528266 - [tex:I_{11}] = 797477 - [tex:I_{12}] = 1106859 おやおや、増える一方。でも、安心してください。 - [tex:I_{19}] = 1640384 - [tex:I_{20}] = 1385123 - [tex:I_{21}] = 1115045 - [tex:I_{22}] = 857641 - [tex:I_{23}] = 631526 まだまだ小さくなります。 - [tex:I_{30}] = 25083 - [tex:I_{40}] = 16.9507 - [tex:I_{41}] = 7.0628 - [tex:I_{42}] = 2.8735 - [tex:I_{43}] = 1.1422 - [tex:I_{44}] = 0.4438 やっと、1 を切りました。 数字を並べてるだけでは、この先ずっと減り続ける一方なのかどうかという保証はありませんけれど。 ちょっと話が飛びます。 数学には「極限」というのがあります(数?かな)。 回答編に出ている [tex:\lim_{n\to\infty} I_n] です。 「n を果てしなく大きくするとどうなる」です。 [tex:I_n] は、n の小さいところでは、増えたり減ったりしてましたが、n を果てしなく大きくすると [tex:I_n = 0] になる、という計算をしています。 n を果てしなく大きくすると 0 になる、ということは、その途中のどこかから先は 1 よりも小さくなるということです。 もちろん、どこかから先は 2 よりも小さくなるはずだし、その手前には 3 よりも小さくなるところがあるのですけれど、この証明のゴールは「[tex:I_n]は整数である」ということと矛盾する、というところです。 なので、[tex:I_n]が 1 よりも小さくなる n がどこかにある、ということを前半で示すことができれば良いんです。
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