http://q.hatena.ne.jp/1458831516※口調を中学生(想定)向けにしています｡鼻についたらすみません｡
まってまって?､それは君が本当に聞きたいこととは違うよ｡永遠に続く小数のことを全部無理数っていうんじゃないよ｡
無限小数で0.33333…ってあるけどこれ｢1／3｣って分数で書けるね｡永遠に続くけど､永遠に続く小数のうち､分数でかけるものは｢有利数｣､そうでないものは無理数なんだ｡(たしか中学の後半で習うよね)
きみはπが無理数であることを証明してほしいんじゃなくて､それ以前の段階で､永遠に続く小数であるってことを証明してほしいんだよね｡
でもね､じゃあ､0.333333…だって納得いかないだろ｡1を3で割ったら､どこかで突然､細かすぎて余りがなくなって､割り切れるかもしれないじゃないか｡これにどう反論する？
たぶん同じ計算が続くから予測できるんだ､っていうんだろうね｡1に0をつけて3でわって3あまり1､またその余った1にｾﾞﾛをつけて…｡全く同じことの繰り返しだから簡単に予測できるな｡
きみが反論したのと同じというか､もうちょっと詳しいやりかたで､円周率は割り切れないことが｢予測｣されてるんだ｡その予測は事実だと検証されたので証明ともいう｡
でもそれには大学で習う数学をつかわなきゃだめだね｡ﾙｰﾄ2が無限につづく小数である(どこかの桁で割り切れない)ことも高校までの数学では証明できないんだから｡(中学で有理数･無理数という言葉をつかいつつ事実として習いはするけれど)
こっちなら大学入試くらいの数学をやっている人ならわかりやすいとおもう｡
円周率が22/7より小さいことの証明 - Wikipedia
最後のほうに､πを分数と比較しながら求めるための一般式がでてくる｡
｢有理数だが無限小数である分数｣をいくつも足しあわせて､｢π｣により近づいた形のものを表現しようとしているんだね｡この式の｢n｣の部分を4の倍数で4，8､12､16…とすすめていけば手持ちのｺﾏは無限にπというｺﾞｰﾙにちかづいていくのらしい｡
ここで､やってるのは､割り算と割り算の引き算｡つまり無限小数と無限小数の引き算｡その結果も､無限小数になる｡じゃあ､どうにかちかづけようとがんばっているｺﾞｰﾙであるπも無限小数なんだろうという直感がしてくるんじゃないかな｡数学的には全然意味のない仮定だけどね｡
(数学者だと逆に､いかに無限小数どうしといえど､πという無理数を有理数で完全に表現することは不可能という証明が存在する､なんならその証明を自分が作るためにｶﾞﾝﾊﾞﾙｿﾞ､という言い方をするとおもう｡ややこしい連中だ｡そもそもどれだけ｢ｺﾞｰﾙ｣の形をしりたかったか､有限小数か無限小数の合間かがぼんやりしていかに不愉快だったかについてはいっしょに考えてはくれないんだ｡ところで足し算でどんな形にもするってのはﾌｰﾘｴ変換みたいな話だけどこっちはこっちでまたややこしいからほうっておこう…)
√5が無限小数であることを証明するための参考資料はないか｡ | ﾚﾌｧﾚﾝｽ協同ﾃﾞｰﾀﾍﾞｰｽ←最終的には｢中学教科書に書いてあるから｣という解答…｡でももう一つの本はおもしろそう｡
要は出てきた式を片っ端から理解してけってことになるんですかね｡わかんなかったら調べて理解していく｡
数式を理解せずとも､”どういう意味合いで作られた､生まれた式なのか”がわかれば数学知らなくても理解たりしないかなとか思ったのは甘かったですかね｡
それぞれの式をどうやって変形したりするかは理解できなくても､変形したりする方法があるんだ､という理解ができれば､納得はできるんじゃないかな､と思います｡
円周率が無理数だってことを証明する方法はいくつもあるのですが､具体的にﾌﾞﾂを見た方が話が先に進むと思うので､ｸﾞｸﾞってみました｡
ざっと検索した中で､式が追いやすい雰囲気で､前提と結果が矛盾しているというのが分かりやすいのがここかな､って思った｡
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/mondai/node25.html
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/mondai/node26.html#k029
｢ﾆｰﾍﾞﾝの証明｣とか言うらしい｡
積分だ級数だとかってでてきますけど､自分で解かなきゃいけないわけじゃないので､次にいけるんだ､くらいで良いのかな､と｡
流し読みした感じでは､ぼくは小問2 の冒頭が説明できない 最後のところが､もごもごって感じかな (´･ω･｀)
これをｵﾌﾞﾗｰﾄ一枚包むと､一挙にここまでうすらぼんやりとします｡
あと､｢どういう意味合いで作られた､生まれた式なのか”がわかれば｣というｺﾒﾝﾄがありましたが､円周率が無理数であることを証明するために編み出した式だと思います｡
図形問題の補助線のように､｢どうして､そこに線を引かなきゃいけないんだ｣みたいな道具｡
