｢出でけ､一人前になれ｣や｢よく言った､えらいぞ､引っ越し費と赴任費出すからがんばれ｣などの"かわいい子には旅させよ"ﾀｲﾌﾟの親の反対の｢県外はﾀﾞﾒだ｣や｢家を出るのは…

お子さんしか､親御さんの｢親御さんとしての顔｣をみることはできませんから､
親のﾀｲﾌﾟを判定できるのは子供だけです｡
国語の問題で反対語を問うのであれば､｢ｶﾜｲｲ子供に旅をさせよ｣の反対語は｢過保護｣だとか｢心配性｣ということになるのでしょう｡

ただし､実際には両方の性質をあわせもつのがふつうの親ですし､
この問題文の例題も適切とは思えません｡
｢県外へ出るなといったから､この親は過保護だ｣という判定をすることはできません｡

この言葉が親の口から出る前に､
どのような話のもっていきかたをしたのかもわからないわけです｡
どんなﾀｲﾌﾟの親でも状況によって､話のもっていきかたによって､
｢県外はﾀﾞﾒだ｣や｢家を出るのはﾀﾞﾒだ｣とのｾﾘﾌを言う可能性があります｡

したがって､国語の問題ではなく親のﾀｲﾌﾟを判定しろというのなら
｢他人にはわからない｣が答えです｡

余談ですが､
質問者さんには｢親とは一般的で標準的な成熟度の大人であるべきだ｣という
思いこみがあるようにも見受けられます｡
親も人間ですし職場ではなく家庭の言動には個性が強く出ますから､
子供がどのように頼み事をしたかで態度も大きく違ってくるのでしょう｡
たとえば､大人になって働くときに､上司の性質がいろいろであることを知るでしょう｡
ものわかりよさそうだがそれは口だけで､全く上層部に意見をとおしてくれない上司､
ものわかりわるいけれど一旦納得すると部下のためにうごいてくれる上司､
など､いろいろﾀｲﾌﾟがいるとおもいます｡
話し合ってみれば｢他の人には厳しいが自分にとっては
理屈が通じやすくてつきあいやすい上司｣だったということもあり得ます｡

質問者さんは短いｾﾘﾌを手がかりに親御さんを｢ﾀｲﾌﾟ｣にﾊﾒ込めば
親御さんとうまくつきあえると思っていらっしゃるみたいですが､
込み入った事情があるのならば､
ねちねちちまちまと親をﾀｲﾌﾟ分けしてﾚｯﾃﾙ貼りをするより前に
やるべきことがあるのでは｡
ﾀｲﾌﾟづけ､ﾚｯﾃﾙ貼りをしていても､
それだけで親との適切な距離感が得られるとはおもえません｡

以上です｡