http://www.city.shinjuku.lg.jp/kodomo/file03_04_00003.html
治療を受けたのが"東京都内の契約医療機関"以外の場合、つまり
にはいったん自己負担分の医療費を支払いますが、あとで申請すれば返ってきます。
基本的にどの自治体も同じだと思います。
http://www.city.toshima.lg.jp/261/kosodate/kosodate/teate-jose/015729.html
http://www.city.setagaya.lg.jp/kurashi/103/134/527/d00133600.html
https://www.city.arakawa.tokyo.jp/kosodate/ikuji_teate/iryohijyosei/iryohijyosei.html
すでに新宿区のページが紹介されていますので、豊島区・世田谷区・荒川区を調べてみましたが、同様に「都内では受給証提示で無料(医療機関へ区が直接払う)」「都外では事後申請で現金支給」のようです。
23区外では「市町村内は無料、外は事後申請で支給」となるはずです。
何年も前の事ですが、東京に子連れで遊びに行って、熱を出してしまいました。私の住むところは子供は無料で、疑問に思い、病院窓口でお聞きした所、受信した病院で支払いをして、自宅に戻ってから自治体に聞いてくださいと言われました。数日後、住んでいるところの役所で書類を書いて申請しました。お金はもどってきましたよ。