これは弧の長さとその中にできる角度の関係がわかるかどうか？というところにあります｡問題を解く前に前提条件をいくつか書いておくと

1. 問題の円の円周は12πcmである
2. 点Pはπcm/s､点Qは2πcm/sで動くので弧PQの長さは3πcm/sで広がる､あるいは縮まると考えることができる
3. ∠POQは弧PQの長さで決まる｡この3つの問いで使うものとしては弧PQ=6πcmなら∠POQ=180°､弧PQ=3πcmなら∠POQ=90°､弧PQ=2πcmなら∠POQ=60°となる
4. △POQにおいてOP=OQよりこの三角形は常に二等辺三角形となり∠OPQ=∠OQPである

があります｡
これを使って問題を解いてみます｡

(1)
4番目の条件より直角三角形を考えるなら∠OPQ(=∠OQP)=90°ということはあり得ない｡よって∠POQ=90°の状態のみを考えればよい｡
3番目の条件より∠POQ=90°となる弧PQの長さは3πcmなので4秒後までを考えると2番目の条件より弧PQとして3πcm､9π(=12π-3π)cmの2回あり4秒後弧PQの長さは12πcmとなり点Pと点Qが重なる｡そして12秒後までにはこれが3回繰り返される｡よって△POQが直角三角形となるのは12秒後までに6回ある｡

(2)
3番目の条件よりP,O,Qが一直線(つまり∠POQ=180°)となるのは弧PQ=6πcmのときであり､2番目の条件より2秒経過すると条件が満たされる｡よって2秒後｡

(3)
4番目の条件より∠POQ=60°となれば残りの二つの角度は等しいため△POQは正三角形となる｡3番目の条件より∠POQ=60°となるのは弧PQ=2πcmのときであり､2番目の条件より2/3秒経過すると条件が満たされる｡よって2/3秒後｡