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数学の解き方がわかりません
<問題>
x^2+x+1=0の相異なる回をα,βとするとき、
α^-2015 + α^-2014 + ……+α^-2 +α^-1 + 1 + β + β^2 +……+ β^2014 + β^2015の値を求めよ
答えは-1らしいのですが
導出がいまいちわかりません

●質問者: クロア様
●カテゴリ:学習・教育
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 2/2件

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1 ● a-kuma3
ベストアンサー

まず、後半のβの方。

βは x^2 + x + 1 = 0 の解だから、x = β を代入すると、
β^2 + β + 1 = 0

移項して
β^2 = -(β + 1)

次は、β^3
β^3 = β^2 * β
= -(β + 1) * β
= -β^2 -β
= (β + 1) - β
= 1

同様に、
β^4 = β^3 * β^1
= 1 * β
= β

β^5 = β^4 * β
= β * β
= β^2
= -(β + 1)

ここまでを並べてみると
β^1 = β
β^2 = -(β + 1)
β^3 = 1
β^4 = β
β^5 = -(β + 1)
β^6 = 1

みっつずつ繰り返しているのが分かるでしょう。
で、その三つの合計は、
β^1 + β^2 + β^3
= β -(β + 1) + 1
= 0

2015 = 3 * 671 + 2 だから、

β^1 + β^2 + ... + β^2012 + β^2013 + β^2014 + β^2015
= β^2014 + β^2015
= β^2013 * (β + β^2)
β^2013 = 1 だから
= β + β^2
β^2 + β + 1 = 0 だから
= -1


前半のαの方も、似たような感じで行けます。
# 残しといてあげる :-)


前半のαの合計、真ん中の 1、後半のβの合計 -1 を足すと答えになります。


2 ● rsc

x^2+x+1=0だから、x^3=1
次数下げの問題のようなので、
x^{3n}=1…?
x^{3n+1}=x…?
x^{3n+2}=x^2=-x-1…?
?+?+?から
x^{3n}+x^{3n+1}+x^{3n+2}=0で、αはこれの解だから、¥alpha^{3n}+¥alpha^{3n+1}+¥alpha^{3n+2}=0
¥alpha^{-2015}+¥alpha^{-2014}+¥dots+¥alpha^{-2}+¥alpha^{-1}+1
=¥frac{1}{¥alpha^{2015}}¥times¥left{¥left(1+¥alpha+¥alpha^2¥right)+¥dots+¥left(¥alpha^{2013}+¥alpha^{2014}+¥alpha^{2015}¥right)¥right}=0
βも同様。ただし、1足りない。(^_^;

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