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有限位数の体上の次の形のn変数不等方程式、
det|A(x1,x2,...,xn)|≠0
の解の存在可能性について、何か参考になる定理などがあれば教えて下さい。
ここで、det|x|は正方行列xの行列式、A(x)は変数xを要素に含む正方行列を表すとします。
また、上の方程式で左辺が恒等的に0となるものは除かれているものとします。

例によって、これをネタにした文芸回答も可です。

●質問者: くろょ
●カテゴリ:学習・教育 科学・統計資料
○ 状態 :キャンセル
└ 回答数 : 1/1件

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1 ● 7knights

Aの余因子行列をadjAとすると(adjA)A=A(adjA)=|A|Iだから,Aの逆行列が存在するための必要十分条件は|A|≠0で,Aは非特異行列ということを意味しているのでしょうか。もう40年近く前の大学1年生のときに文系数学Iでやったことをぼんやりと思い出しました。


みやどさんのコメント
「有限位数の体」ですから、行列成分は実数や複素数ではありませんよ。

みやどさんのコメント
ついでに、この場合、「どんな数を代入しても0」と「式として0」は異なります。

みやどさんのコメント
> また、上の方程式で左辺が恒等的に0となるものは除かれているものとします。 言い方が紛らわしいですが、「恒等的に0」は「式として0」だと思います。

7knightsさんのコメント
「恒等的に0となるものを除く」とは「トリヴィアルな解を除く」という意味だと思いました。

7knightsさんのコメント
Aのランクをrとすると, n>rのとき,解は無数にある。 n=rのとき,解は一意的に決まる。

7knightsさんのコメント
n>mのとき,n個のm次ベクトルは一次従属。一次独立なm次ベクトルの数はmを超えない。

みやどさんのコメント
> A(x)は変数xを要素に含む正方行列を表すとします。 と言っているので、関数という意味であってベクトルを並べた行列という意味ではありません。 というより、そもそもdetは普通は正方行列にしか定義されません。

7knightsさんのコメント
行列を転置してもランクは変わらない。
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