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【赤い部分が二等辺直角三角形になるのはなぜ?】
教員採用試験の問題集にあり、恥ずかしながら自分にはわからなかったので質問です。

正方形の中に、正三角形が図のように内接しているとします。

そのとき、赤い三角形の部分が「二等辺直角三角形になるので」と、問題集の解説には書いてあり、そのまま説明が先に進むのですが、学生から「なぜ二等辺直角三角形になるのか証明してほしい」と言われ、言葉に詰まってしまいました。

「線対称だから」以外の、きっちりとした証明はないでしょうか? よろしくお願いいたします。

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●質問者: lionfan2
●カテゴリ:学習・教育
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 6/6件

▽最新の回答へ

1 ● keijun5145
●30ポイント

正方形の中の正三角形なので、正方形の図左上から出ている線が作っている角度は15度、60度、15度
その角から出ている線(正方形の一辺)は下にいっても右にいっても等しい。
三角形の斜辺に該当する部分は正三角形なので、長さが等しい
このことから2辺とその間の角が等しいので左側の三角形と上の三角形は合同
いずれも三角形の短辺になるので、正方形の一辺の長さをnとして合同を証明した三角形の短辺をmとm'とする(mとm'は合同)
赤の三角形の2辺の長さはn-mとn-m'になる(この長さは等しい)
このことから赤の三角形は直角二等辺三角形になる

ぐらいでしょうか?
お昼寝しないで考えてみました。
ご参考まで。


lionfan2さんのコメント
keijun5145様、ワールドカップで寝不足な中、ありがとうございます。 ただ1?2行目 「正方形の図左上から出ている線が作っている角度は 【15度、60度、15度】」 は、証明が必要ではないでしょうか。

kamiyaman_blogさんのコメント
横から失礼します。正三角形の内角はすべて60度なので、上と左の細長い直角三角形が合同であると証明すれば必然的に【15度、60度、15度】の証明になります。60度を導き出すのに証明はいりません。

みやどさんのコメント
keijun5145さんの論法では「上と左の細長い直角三角形が合同」を示すのに15度を使っているので、循環論法です。

kamiyaman_blogさんのコメント
それについては二人目や三人目の回答者が証明してるのでそれを活用すればいいと思います。 この問題はおそらく小学6年生レベルのものかと思います。 一見情報が少なすぎて証明困難に見えますが、算数の基礎知識(この場合は正三角形の三辺の長さは等しく、内角はすべて60度という性質など)を活用することで道が開けるという、算数・数学の面白さ・奥深さを教えてくれるいい問題です。

lionfan2さんのコメント
keijun5145様、ありがとうございます。了解です。

2 ● a-kuma3
●100ポイント ベストアンサー

赤で塗られていない方の、すき間の二つの三角形に注目します。

三角形の合同の条件は、みっつありますが、直角三角形の場合には、更にふたつ加わります。

すき間の三角形は、直角三角形です(ひとつの角が正方形の角だから)。
斜辺の長さは、内接している正三角形の辺なので、長さは等しいです。
斜辺ではない辺のうち、正方形の一辺である辺は、長さが等しいです。

直角三角形で、「斜辺の長さと、もう一辺の長さが、それぞれ等しい」を満たすので、ふたつの三角形は合同です。

なので、正方形の一片ではない方の長さが等しいですから、正方形の一辺から、その長さを引いた線分、つまり赤い三角形の正方形と辺を共有している線分の長さが一致するので、赤い三角形は二等辺三角形です。
その二辺で挟まれた角は、正方形の角ですから直角。

というわけで、赤い三角形は直角二等辺三角形です。




(追記です)
絵がないときついので、回答 No.3 で使われていたページの絵を使います。
https://sci-pursuit.com/math/triangular-congrent-condition.html#2

まず、「斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい」から。
f:id:a-kuma3:20180630162927p:image
もうひとつの鋭角である、∠BAC の角度は、直角?∠ABC です。
∠ABC=∠A'B'C' ということは、それぞれを直角から引いた値 直角?∠ABC=直角?∠A'B'C' です。
つまり、∠BAC=∠B'A'C' 。

一辺と、その両端の角がそれぞれ等しいので、ふたつの直角三角形は合同です。


つぎに、「斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい」。
f:id:a-kuma3:20180630162938p:image
辺 b の長さは、¥sqrt{c^2-a^2} です。辺 b' も同様。
a = a' 、c = c' ということは、¥sqrt{c^2-a^2}¥sqrt{{c’}^2-{a’}^2} が成り立つので、b = b' です。

三辺の長さが等しいので、ふたつの直角三角形は合同です。


a-kuma3さんのコメント
直角三角形の合同条件が、ふたつ増える証明も要りますか?

lionfan2さんのコメント
a-kuma3様 すみません、「斜辺の長さと、他の辺の長さが、それぞれ等しい」は知りませんでした。 もし証明が載っているページがあるなら、ご紹介いただけないでしょうか。

a-kuma3さんのコメント
>> 「斜辺の長さと、他の辺の長さが、それぞれ等しい」は知りませんでした。 もし証明が載っているページがあるなら、ご紹介いただけないでしょうか。 << 回答に追記しました。

lionfan2さんのコメント
a-kuma3様、了解です。これで完全に納得いたしました。 BAはa-kuma3様に差し上げたいと思います。

a-kuma3さんのコメント
算数とか受験数学の「証明せよ」問題は、たいていの場合、ゴールの形が決まっています。 「二等辺三角形であることを証明せよ」の場合、 - 二辺の長さが等しい - 二つの角の大きさが等しい のどちらかです。 「長さが等しい」は、合同か平行四辺形、「角度が等しい」は、合同か相似が定番かと。 No.3 の回答のコメントで id:MIYADO さんが触れていた「正方形に内接する正三角形が、ひとつの頂点を共有するときに、それは線対称になっている」の方が、難しいかな、と。 ゴールの形がふわっとしてるので。 多分、軸を決め打ちにして、残りの二点が対象になってる(もちろん、三角形の合同を使う)のだとは思いますが。

3 ● Asayuri
●30ポイント


直角三角形の合同条件を使います

https://sci-pursuit.com/math/triangular-congrent-condition.html#2

斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい直角三角形は合同ですから

正三角形の上と左にある直角三角形は合同となります

合同な三角形のそれぞれ対応する辺の長さは等しいですから

赤い三角形の上にある三角形の辺長と 左にある三角形の辺長は等しいです

したがって 赤い三角形自身の右と下の辺長は等しいので

赤い三角形は直角二等辺三角形となります


lionfan2さんのコメント
Asayuri様、ありがとうございます。 すみません、実は自分は、直角三角形の合同条件 「斜辺の長さと、他の辺の長さが、それぞれ等しい」は知りませんでした。 その証明が載っているページを、もしご存じでしたら教えていただければと思います。

Asayuriさんのコメント
直角三角形の合同条件解説のURLです 参考になさってください https://jhs-math.komaro.net/jhs02/%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E5%9B%B3%E5%BD%A2%E3%83%BB%E8%A8%BC%E6%98%8E/%E7%9B%B4%E8%A7%92%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E3%81%AE%E5%90%88%E5%90%8C/

lionfan2さんのコメント
Asayuri様、本当にありがとうございました!!

4 ● rsc
●20ポイント

正方形の一辺の長さをx、正三角形の一辺の長さをyとすると、
上側の長さyの斜辺、長さxの一辺からなる直角三角形の残りの辺の長さpは三平方の定理から次式の通り。
p=¥sqrt{y^2-x^2}
同様に、下側の長さyの斜辺、長さxの一辺からなる直角三角形の残りの辺の長さqは三平方の定理から次式の通り。
q=¥sqrt{y^2-x^2}
∴p=q 以下(ry
ちなみに、これより、三角形の合同条件から上側の直角三角形と下側の直角三角形は合同。(^_^;


みやどさんのコメント
それだと合同を経由せずにまっすぐ、赤い三角形の二辺が、正方形の一辺-p=正方形の一辺-q とやれます。

rscさんのコメント
(^_^;

lionfan2さんのコメント
rsc様、別証明、ありがとうございます。

5 ● hathi
●25ポイント

「線対称だから」ではどうしてまずいのでしょうか。
「対称だから」ならばいいのでしょうか。
正方形に正三角形が内接しているのなら、十分なように思うのですが、、

f:id:hathi:20180630102407j:image


みやどさんのコメント
「線対称だから」だと、正三角形の入れ方の一意性(左上の頂点を固定した上で)を示す必要があります。

lionfan2さんのコメント
hathi様、自分も「対称だから」では、なんとなく説明をごまかしているような気はしたのですが、 どこがダメなのか、正確には把握していませんでした。 というわけで、MIYADO様の指摘は、とても勉強になりました。

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