400ccのバイクを登録したいのですが、書類がありません。また盗難車では無く出所もバイク屋なのですが、最初の所有者が自動車学校なので中古車でありながら未登録車両になります。

一般的には不可能です。

と前提した上で、バイク屋から購入しているのですよね。そのバイク屋で登録してくれなかったのでしょうか？部品取り用として購入したのなら話は別ですが普通のバイク屋なら登録してくれるはずですが（出来るのならば）

また、普通に書類をなくしたバイクと違い、そもそも未登録なのでもしかしたら陸運局に持ち込んで検査の上で新規登録が出来るかもしれません。事情が事情ですので担当の陸運局にお尋ねになってはいかがでしょう？但し、もし検査を受け付けてくれる事になっても、新車と同様のレベルまで整備がされている事が前提になるでしょう。

どの様なバイクなのかわかりませんが、そもそも教習所バイクならＶＦＲ４００ＫやＣＢＲ４００Ｋなどの公道は走れない車種（認定を受けていない）かもしれません。そうなるとちょっと話は絶望的かと思います。

失礼。ＶＦＲ４００Ｋは公道走れますね。訂正してお詫びします。回答オープン分はのっかっておきました。失礼しました。

URLはダミーです。

バイク屋の販売証明書があれば登録できます。

実際、中古車を多く扱うバイク屋では書類不備などの場合も多く、それ用に販売証明書を用意しています。