現在あるサーバーから他社の別のサーバーに移転中です。

DNS情報は1箇所にあるわけではなく、たくさん有りますから、そのすべてが書き換わるまでは、旧サーバーへ接続してしまう可能性があります.

ちなみに、年初に私が移行したときは1週間くらいかかりました

大変そわそわされていることとお察しします。

まず、疑問１で出てくる新サーバの管理会社さんの見解は正しくありません。基本的に、DNSレコードは新しく登録されたものが正として扱われますから、レジストラ側で切り替わっていれば、旧サーバ側では特に何もする必要がありません。

では、それにもかかわらず、なぜ情報が切り替わらなかったかという点についてお答えします。

hhashimoさんのPCのネットワーク設定で指定したDNSサーバは、URLからIPアドレスを導き出すために、最初のアクセスの時に大本のDNSサーバ（ルートサーバ）や接続先ドメインのDNSサーバ情報を取得します。しかし、毎回他のサーバに問い合わせていては、通信する量が大きくなりすぎてしまいます。そのため、各地のDNSサーバ毎に、一度アクセスした情報をキャッシングして、再利用します。

このキャッシュには有効期限が設けられていますが、通常１週間程度の有効期限を設けているため、有効期限内の古い情報が残ってしまうということになるわけです。

hhasimoさんの組織にあるDNSサーバは、頻繁に旧サイトにもアクセスしていたでしょうから、このキャッシュがずっと使われていることになります。

ですから、例えば全然関係ないネットカフェで接続しようとすれば、キャッシュがないので今すぐ新サイトに接続できるようになるでしょう。

hhasimoさんが今すぐ新サイトに移行したほうでアクセスしたい場合は、お使いのPCで指定しているDNSサーバの管理者に、キャッシュをフラッシュしてもらうように要請すればOKです。

また、こうした事態をできるだけ短くするためには、ドメインが移行するとわかった時点で、旧サーバでのDNSレコードの有効期間をあらかじめ短く設定してもらう方法が有効です。

具体的な話はここでは省きますが、当該ドメインのDNSサーバの管理者と相談してみると良いでしょう。