市民税・県民税について。

昨年の１０月中旬に前職を退職し、同じく昨年１１月中旬に現在の職場に転職しました。
昨日、「市民税・県民税　納税通知書」が区役所から送られてきて、私の場合昨年退職しているので「普通徴収」という形になっているようなのですが、現在は新しい会社に勤めています。

この場合、今回通知書にて第４期の市民税・県民税を納めてしまうと、今年５月までは現在の会社から住民税が控除されることはないのでしょうか？（１２月分給与からは住民税は引かれていないようです）
心配なのは自分で普通徴収を納税しても、現在の会社からも特別徴収されることはないのかという点です。

後、本人からの申し出があれば新しい会社で特別徴収することができるといったことも記載されていたのですが、既に納税通知書が届いていても今月〜５月分に今回支払う第４期分を特別徴収してもらうことは可能なのですか？

専門的なことがさっぱり分からないため、教えていただけると幸いです。