統計に関する質問です。

今までの回答された方と同じですが。。。。。

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1つめの質問

あなたの計算結果は正しいと思われます。私の得られた以下の計算結果とほぼ等しいです。

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分散＝166.09

標準偏差＝12.887590930814

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下記で記載している計算方法で求めました。

注意する点は、問題文には「母集団」と記述されている点です。

多くのパソコンの計量ソフトはデータを「母集団」ではなく、

「母集団の標本」と前提していますので、単純に関数で計算すると違った結果がでます。

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＊＊計算方法＊＊

①母集団の各データ{25,27,28,29,36,39,42,43,54,68 }と平均値(39.1)との差をそれぞれ求める。

(-14.1,-12.1,-11.1,-10.1,-3.1,-0.1,2.9,3.9,14.9,28.9)

②先ほど求めた値を全て足し合わせる。（総和を求める）

(1660.9)

③最後に先ほど求めた値(1660.9)にデータ数である10を除する（割り算する）と、分散が得られます。

(166.09)

④分散を平方すると、標準偏差が得られます。

(12.887590930814)

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たとえば、表計算ソフトのExcelは、単純にvar関数などで分散を求めると、

計算方法③の割り算の分母が、データ数ではなく、データ数×（データ数-1）となります。

ちなみに、Excel関数で求めると以下になります。

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分散＝184.5444444

標準偏差＝13.58471363

（これは母集団を標本とした場合であり、正規の答えではありません）

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2つめの質問

統計ソフト（sas,spss,R等)があればすぐにできますが、表計算ソフトExcelでの方法（実はこちらのほうがヤヤコシイ）の１例を記述いたします。

作図方法の③がキーです。大変ですががんばって下さい。

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＊＊正規分布の作図方法＊＊

①平均の値と標準偏差の値をそれぞれシートに記述する。

②グラフの横軸となる値をシートに縦に記述する。

（＊正規分布（標準偏差12.887590930814、平均39.1)の場合、-10から90位までを、0.5刻みに200個、縦のシートに作ると（方法は最初のシートに-10を記述し、

次のシート以降は（=上のシート+0.5)と計算させます）、綺麗に描きます。）

③横軸になるシート（②で作ったもの）の全ての隣のシートに(=normdist(②のシートを指定,平均の値のあるシートを指定,標準偏差のあるシートを指定,false)と記述します。

（＊例：=NORMDIST(A3,$B$1,$B$2,FALSE)、但し、$の印はこの式を他のシートへコピーした場合でも固定するためのもの（F4キーがショートカットキー）もしくは=NORMDIST(A3,39.1,12.887590930814,FALSE))

④３番目の式で得られた数値の全てをマウスで選択し、グラフを滑らかにみせるために「散布図」の平滑線で描かれたものをでグラフを描く。

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3つめの質問

以下で説明しますが、http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakuc/toukei/kihon0/basic0....もわかりやすいです。

（時間が無かったり、説明が面倒な場合、⑤から参照してください。即回答が欲しい場合、⑬を参照してください）

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この問題は今までの問題と異なり、回答者に「推定」や「検定」などに展開する前の基本統計の理解を問う問題と思われます。

まず、問題の意味（何を問われているのか）を意識することが、この先の統計の問題での理解の一番の近道だと思います。

（ここでは、母集団が明示されていますが、ほとんどの現実では、データの数が多すぎて１部のサンプルしかわからない合があります。

その場合、そのサンプルでわかる基本等計量（平均値など）は、あくまで予測であり真実であるかどうか確実にはわかりません。

そこで、統計的に何％、正しいといえる基準が必要です（この表現は帰無仮説などでは正確ではありませんが、今回の主旨でないので省きます）。

それがこの問題に出てくる”～％”の意味に繫がります。

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①まず正規分布のグラフを見てください。このグラフの重要なポイントは曲線で描かれた線から、横軸の線までの間にある面積です。

②この面積が、後にでてくる「推定」などで、平均値を推定する場合の統計的に示す確からしさ、

　信頼区間というもの（確率という名前ではありません。）を示すものであります。

③信頼区間は横軸をどこからどこまでとるかできまります。横軸の幅はグラフをみるとイメージが付きますが、

　平均値からどれだけ離れているかで、決めます。問題にもあるように、平均値±標準偏差（実はこれを１シグマといいます。）、

　平均値±標準偏差×２（同様に２シグマ）などというのが、面積を決める横軸の幅です。

③従って、信頼区間の値（～％）は、横軸の値をどこからどこまで取るかで変化します。

　また、グラフの一番端からある地点までの面積を”裾（すそ）”とよび、信頼区間以外にある左右の部分のことを両裾、

ある地点からグラフの右側の端までの面積を右裾、左なら左裾といいます。

④信頼区間の値に対応する横軸の値を調べるためには、一般的に標準正規分布表を用います。これは、統計の教科書の最後にあると思います。

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＊＊＊ここから問題を”平均±標準偏差が全体の68％になるかどうか”を例に具体的に解きます。＊＊＊

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⑤標準正規分布表を見てください。（参照：http://www.interq.or.jp/snake/totugeki/HSB.htm）多分教科書にもあると思います。

これは、表の中が標準正規分布の片側のすそ（上を参照）を示し、縦軸には対応する、標準正規分布グラフの横軸の値の小数点１桁までを、

横軸には、標準正規分布グラフの横軸の値の小数点１桁以降の値を示しています。

（表によっては、右すそを前提にしたものや、左すそ、両裾を前提にしたものがあります。どれも一緒なのですが気を付けて下さい）

⑥全体が68%なので、残りは100-68=32(%)より、右裾（左裾）、32/2=16(%)となり、表にある.16に近いものを探します。

⑦表では.16はないが、.1611など、近いものをがあるのでそれを参照すると、縦軸が0.9、横軸が.009なので、標準正規分布の横軸の値が0.99のときに

　右裾が16%となり、全体が68%にほぼ一致することが理解できます。

⑧0.99を横軸の値と呼んだが、これは、先ほどの標準正規分布での平均値（0)から0.99だけ離れていることをほぼ表しており、

　平均値(0)±0.99×標準偏差（1)=0.99（-0.99)ということを意味します。

⑨従って、平均0、標準偏差1の標準正規分布以外のケースでも、平均値±0.99×標準偏差の範囲ではほぼ68%となります。

⑩今回のケースは平均±標準偏差、即ち平均±1×標準偏差となるの　で、平均±標準偏差が全体のほぼ68％であるといえますが、正確　　ではありません。従って、この表を今回の方法と逆の見方をしてみてください。

⑪縦軸が1.0、横軸が.00に対応する標準正規分布の値は.1587、これは片側の裾を表しており、0.1587×2=0.3174であり、1-0.3174=0.6826となり、

正確には全体の68.26%を示していることがわかります。

⑫したがって、平均±標準偏差は全体の68.26%であり、68%にはならない（但し、四捨五入すれば、68%となります）。というのが解です。

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同じ要領で他も求めると、

”平均±標準偏差×2が95％になるかどうか”は、

平均±標準偏差×２は95.44%であり、95％にはならない（但し、四捨五入すれば、95％となります）

”平均±標準偏差×3が99.7％になるかどうか”は、

平均±標準偏差×3は99.7%となる。

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以下のExcelによる計算は、あくまで理屈を理解した上で使ってみて下さい。

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⑬”平均±標準偏差が全体の68％になるかどうか”は、シートに=(1-(1-NORMSDIST(1))*2)*100と入力すれば、68.2689492137086が得られます。

したがって、平均±標準偏差は全体の68.2689492137086%であり、68%にはならない（但し、四捨五入すれば、68%となります）。というのが解です。

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同じように、”平均±標準偏差×2が全体の95％になるかどうか”は、シートに=(1-(1-NORMSDIST(2))*2)*100と入力すれば、95.44997361が得られます。

したがって、平均±標準偏差×2は全体の95.44997361%であり、95%にはならない（但し、四捨五入すれば、95%となります）。というのが解です。

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同じように、”平均±標準偏差×3が全体の99.7％になるかどうか”は、シートに=(1-(1-NORMSDIST(3))*2)*100と入力すれば、99.73002039が得られます。

したがって、平均±標準偏差×2は全体の99.73002039%であり、99.7%にはならない（但し、四捨五入すれば、95%となります）。というのが解です。

(上記の正規分布表を用いた方法では小数点以下１までしか求められない為、結果が異なります。)