検索エンジンの上位に出ていたサイトがあります。しかし、ドメイン期限更新を忘れてしまって失効してしまい、他のサイトにドメインを奪われました。

検索エンジンにインデックスされている元サイトの方が価値があると判定されている状態と考えられます。

同じサイト内容ならば、新ドメインのサイト価値をそれ以上に高めなければいけないので、元サイトにかかった時間と手間以上をかけなければ上位に来る事はないと考えることができます。（あくまでも理論上）

元サイトがかなりの価値（ページランク６とか）と判定されてるのならランキングを取りも戻すのは難しいので、ホームページを完全リニューアルする方が手っ取り早いかも知れませんね。

例えばGoogleの場合、「他のページからどれだけリンクされているか？」でランク付けを行っています。また、ランクは常に変動しています。そのサイトが有用ならばランクは時間とともに上がっていくでしょう。時間はかかるかもしれませんが待つしかないと思います。

これはGoogle以外にも言えることだと思います。