http://www8.plala.or.jp/ap2/shinraisei/shinraisei3.html#shinraido　に出てくる下記の計算で

http://www.hobby-elec.org/logarithm.htm

単純な手計算はあり得ません。対数表を使うと計算機やコンピューターなしでも計算できます。

上のURLは対数表といってｎ ＝ ｅ^ｘまたはｘ ＝ ｌｏｇeｎのeとnの関係が表になっています。電子回路の計算でも表を使うことがあるようです。

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/hyperbola/lntable.htm

どうしてもという時は近似値計算をすることはできます。

http://www1.odn.ne.jp/kentaurus/new_page_23.htm

ちなみに遡ること３０００年も前に、メソポタミアの商人が手探りで対数の計算をしてたようです(ページ真ん中あたり)。

手計算は難しいと思います・・・こちらもウロオボエ高卒程度の知識なのであまり自信ありませんが、ご参考になれば

「＾」はべき乗なので、この計算式はeを-λｔ回掛け合わせたものになります。

−λｔの答えが整数であれば、下のようにして四則演算で、紙とエンピツでもなんとかなりそうですが

ｅ^-λｔ

=1 / (e^(λｔ))

=1 / (eをλｔ回掛け合わせる)

今回の計算のように0.4回掛けるというのは2/5乗。これは５乗根of(eの２乗)というふうに分解できますが、xの５乗根とは、5回掛け合わせたらxになる数値・・・この手計算は無理な気がします。（出来る方がいたらすみません）

質問で提示されている公式が一番簡略化されたもののように思います。これをそのままGoogleなどで計算するほうが楽かと・・・

電卓を使ってもいいなら、x乗根を計算できるものもあるので、がんばればなんとかなるかもしれませんが

http://www.nishnet.ne.jp/~math/mr_boo/dentaku3.htm

ややこしくて計算間違えそうです。