数学：同時確率分布について教えてください。解答はわかっていますので、解き方を詳しく教えてください。ポイントははずみます。Excelの式か何かあると助かりますが、無くても問題ないです。Fλμ=P({w:f1(w)<=λかつf2(w)<=μ})

Fλμ = P({(x,y) in W:X((x,y))<=λかつY((x,y))<=μ})と書くと、

Fλμは確率変数X、Yの同時分布関数で、つまりX<=λかつY<=μである確率を表します。

X = 9x

Y = 8(x+y)なので、代入して変形すると、

Fλμ = P(X<=λかつY<=μ)

= P(9x<=λかつ8(x+y)<=μ)

= P(x<=λ/9かつy<=μ/8-λ/9)

この確率は、標本空間Wのこの範囲(x<=λ/9かつy<=μ/8-λ/9)が含む広さに等しいので、

W内に収まっている0<=λ/9<=1かつ0<=μ/8-λ/9<=1の場合、

つまり0<=λ<=9かつ0<=μ<=16の範囲なら、(λ/9) * (μ/8-λ/9)。なので、

Fλμ = (λ/9) * (μ/8-λ/9) (ただし、0<=λ<=9かつ0<=μ<=16の時)

これをλとμで偏微分すると、

同時確率密度関数p(λ,μ) = 1/72 (ただし、0<=λ<=9かつ0<=μ<=16の時)

p(2,4) = 1/72 = 0.01388...

p(2,4)でないなら、というか普通は他の範囲の場合も考えるのかもしれません。

間違ってるかもしれません。ポイントは要らないです。

一番目の回答ですが、手順としては合っていると思いますが

= P(9x<=λかつ8(x+y)<=μ)

= P(x<=λ/9かつy<=μ/8-λ/9)

が間違っています。例えばx=0の時はy=μ/8でも成立します。

まず、λ=2, μ=4を含む範囲の累積分布関数Fλμを求めます。

個人的には幾何的に考えた方が早いので前回の回答と同様に考えます。

標本空間Wは0<=x<=1, 0<=y<=1の正方形になり、条件を追加して限定された面積が確率になります。

X <= 2は、9x <= 2, すなわち x <= 2/9 になります。

Y <= 4は、8(x+y) <= 4, すなわち y <= -x+1/2 になります。

実際に図に書くと分かりやすいと思いますが、この時の累積確率F2,4は

y = -x + 1/2, x軸, y軸で囲まれた面積から

y = -x + 1/2, x軸, x = 2/9で囲まれた面積をひいた値になり、

F2,4 = (1/2)^2 * 1/2 - (1/2 - 2/9)^2 * 1/2

となります。

λ, μを使って一般化して書くと

Fλμ = (μ/8)^2 * 1/2 - (μ/8 - λ/9)^2 * 1/2

となります。

尚、これが成立する条件は

2つの直線が正方形と交わる、あるいは接したうえで

y = -x + μ/8 が対角線に重なるまで(0 <=μ <= 8)

かつ

x軸上で x = λ/9 が y = -x + μ/8 の右に来ない事(0 <= λ <= 9/8*μ)

になります。

Fλμをλとμで偏微分すると、

同時確率密度関数p(λ,μ) = 1/72

が得られます。

λ=2, μ=4(とその前後)は式が成立する条件(μ <= 8, λ <= 9/8*μ)にあてはまるので

p(2,4) = 1/72 = 0.01388

となります。