WindowsXPのコンピュータに電源が入っているかどうかをリモートで確認する方法を教えてください。

例えば、そのPCがインターネットに接続されていると言う前提があるなら、ルーターの通信ログを追うという方法はだめでしょうか？

例えば、メッセンジャーの類が起動していれば、定期的にインターネット側と通信するので、ログを追っかければある程度推測はできるのではないかと思います

(PINGが無いと、さすがに｢今、この瞬間｣を見るのは難しいかと)

Xpの標準設定をおぼえていないので外しているかも知れませんが。

1. tracertを試す。UDPを無視せずICMP unreachableを返してくれるようであれば、それで判断できます。
2. 空いていないTCPポートへ接続を試みる。たとえばブラウザでアクセスするなどして、空いていないTCPポートへ接続を試みるとTCP RSTを返してきて、すぐさまconnection refusedになるなら、それで判断できます。
3. すでに空いているTCPポートへの接続を試す。ファイル共有サービスが有効になっていれば、TCP 137, 139, 445辺りが空いているはずです。ポートスキャナ等でそこへ接続して、成功すれば起動しているとわかります。
4. こちらからのパケットをすべて無視する場合は仕方ありませんので、逆に、相手方の方から定期的にpingを投げてもらうとか、メッセンジャーのようなIMソフトを入れるなどの方法が考えられます。