サンプリング定理とはどのような定理であり,また,音楽CDのサンプリング周波数との関係を教えてください。

http://laputa.cs.shinshu-u.ac.jp/~yizawa/InfSys1/basic/chap5/ind...

　「連続信号をサンプリングして離散信号に変換するとき、その信号に含まれる最高の周波数の2倍以上の周波数

　　でサンプリングすれば、完全に復元することができる。」

だそうです。

CDは44.1ｋHzですから、22050Hzまでの周波数の音をエンコードできることになります。人間の耳には20～20000Hzの音しか聴こえないといわれていますので、CDのサンプリング周波数は合理的ということになります。

http://www2.oninet.ne.jp/ts0905/deeg/deeg10.htm

CDのサンプリング周波数が40kHz前後である理由はサンプリング定理から明らかですが、なぜ44.1kHzになっているかについては、既存の機器の動作周波数との関係で決まったようです。それについてはwikipedia（http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B5%E3%83%B3%E3%83%97%E3%83%A...）が詳しいです。以下引用…

サンプリング周波数は、原理的には標本化すべき原信号帯域幅の2倍より高い任意の周波数でよいが、放送や録音などでは一度決めると互換性の点から変更することが難しい。T1回線の電話の8kHzように「キリのよい」周波数が選ばれるとともに、既存のシステムとの互換性（または非互換性）をもとに選ばれることも多い。

CDのサンプリング周波数44.1kHzは、一見するとキリの悪い意味のない周波数に見えるが、これは初期のCD製作のためのPCM録音に比較的安価なヘリカルスキャン型のUマチックビデオレコーダを用いたことに由来する。すなわちNTSCテレビジョン信号の水平走査周波数15.75kHzの 3×(14/15)倍である。1水平走査内に6標本（ステレオ各チャンネル3標本づつ）をビデオ信号の形に変調して記録する。ヘリカルスキャン型VTRの場合、回転ヘッドの切替えタイミングが垂直同期信号の付近にあるが、必ずしも安定していないので、垂直ブランキング付近の各フィールド毎17.5本（総水平走査線数の1/15）の水平走査線を避けている（使わない）。

標本化定理 - Wikipedia

サンプリング周波数 - Wikipedia

教えて！goo 標本化定理をわかりやすく教えて！

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B5%E3%83%B3%E3%83%97%E3%83%A...

CDのサンプリング周波数44.1kHzは、一見するとキリの悪い意味のない周波数に見えるが、これは初期のCD製作のためのPCM録音に比較的安価なヘリカルスキャン型のUマチックビデオレコーダを用いたことに由来する。すなわちNTSCテレビジョン信号の水平走査周波数15.75kHzの 3×(14/15)倍である。1水平走査内に6標本（ステレオ各チャンネル3標本づつ）をビデオ信号の形に変調して記録する。ヘリカルスキャン型VTRの場合、回転ヘッドの切替えタイミングが垂直同期信号の付近にあるが、必ずしも安定していないので、垂直ブランキング付近の各フィールド毎17.5本（総水平走査線数の1/15）の水平走査線を避けている（使わない）。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A8%99%E6%9C%AC%E5%8C%96%E5%AE%9...

標本化定理（ひょうほんかていり: サンプリング定理とも）は情報理論分野で、非常に重要な定理として知られており、アナログ信号をデジタル信号へと変換する際に、どの程度の間隔で標本化（サンプリング）すればよいかを定量的に表すものである。

ですが、分かりやすく説明した感じのページがありますので、こちらをご覧ください。

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=19881

標本化定理をわかりやすく教えて！

http://blog.tsm.ac.jp/index.php?c=2-10

音楽ビジネス：：アナログとデジタルの間で

サンプリング定理の定義自体は

http://www.cqpub.co.jp/term/samplingtheorem.htm

で十分だと思いますのでこれの解説をしたいと思います。

そもそもサンプリングとは元のアナログ信号（ぐにゃぐにゃな波）をデジタル信号に一定の間隔で変換することをさします。

そしてその間隔のことをサンプリング周波数といいます。

周波数(Hz)とは一秒間に振幅する回数を表したものなので仮にサンプリング周波数が１０Ｈｚだと１秒間に１０回、ＡＤ変換（アナログからデジタルへ）を行うことになります。

次にＡＤ変換について触れたいと思います。乱暴な例えなのですがイメージをつかむためにこんな例を出してみたいと思います。元のアナログ信号をある一定の間隔でサンプリングした時の値が１２３、１２８、１３１とあったときにそれぞれを１桁めを切捨てしてそれぞれを120,120,130と変換するというのがデジタル化だと思ってもらえればイメージがつかめると思います。

さらに言うと120,120,130を元のアナログには戻せません。アナログ変換しても120,120,130のままだからです。

あと音についてですが高い音ほど周波数が高く低い音ほど周波数が低いです。音の大小はその振幅する幅で決まります。

波が１秒間に振幅する回数が音の高さでその振幅する上下の幅が音の大きさです。

ここでようやくサンプリング定理について触れていこうと思います。サンプリング定理は一番高い音の２倍以上のサンプリング周波数にしなければ元のアナログ信号に戻せないということをさします。ここで前述したことと矛盾を感じたと思います。そこであらたな例を出します。123.5,128.2,131.3をＡＤ変換して123,128,131になったとします。ここでＤＡ変換を行うと123,128,131にしかなりません。ここで人間には小数点以下の値の違いは感じ取れないとすれば元の情報と違いがないという風に考えられます。

このことを踏まえたうえで人間の可聴域は20～20000hzといわれています。つまり20khz(20000hz)以上の高い音は人間は聞き取れないのです。そしてＡＤ変換する時にサンプリング周波数をこの20khzの2倍以上(40khz)にすれば人間の可聴域何の値を全て取得することが出来るのがわかると思います。なぜ2倍かといえば2倍分の間隔があればどこできろうとも20khz分の振幅は必ず取得できるからです。

これでＣＤのサンプリング周波数が44.1khzなのが何故なのか納得してもらえたと思います。

ちなみにＡＤ変換は音源をＣＤにすること、ＤＡ変換は音をスピーカーで出すことだと思ってもらえればいいと思います。