1.X上の同値関係はいくつあるか。
2.X上の2項演算は全部で3^9=19683個ある。Xがaを単位元とする
群になるような演算*をひとつ求めよ。
よろしくお願いします。
No.1
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１．
同値類に分けることを考える。
同じ同値類に属するものを同値とすれば
同値関係の数と同値類の分け方は1対1に対応する。
同値類の分け方としては
{a,b,c}
{a,b}{c}
{b,c}{a}
{c,a}{b}
{a}{b}{c}
の5通りあり、同値関係も5つある。
２．(以下a,b,cは全て異なるとする)
aを単位元とするのだから
a*a=a
a*b=b
b*a=b
a*c=c
c*a=c
また群は逆元を持つので
b*x=a
x*b=a
となるbの逆元xがXに存在する。
(i)x=bのとき
b*b=a
ここでb*cを考えると単位元は唯一aのみなのでb*c=bではありえない。
またbの逆元はbに対して唯一定まるので(この場合b)b*c=aもありえない。
すると
b*c=c
となるがこれは単位元が唯一aだけという仮定に反する。
したがってx=bではありえない。
(ii)x=cのとき
b*c=a
c*b=a
残るはb*bとc*cであるが
単位元は唯一aのみなのでb*b=bではありえないし、c*c=cではありえない。
またbの逆元はbに対して一意的に定まるので(この場合c)b*b=aでもありえない。よってb*b=c
同様にc*c=b
以上より演算表を書くと
| ＊ | a | b | c |
| a | a | b | c |
| b | b | c | a |
| c | c | a | b |
1
1
1
1
2
2
5
5
たいへんわかりやすい解答でした。
ありがとうございました。