id:kokogiko
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学習・教育科学・統計資料

θ - sinθ = Ａ (Ａは定数、0≦Ａ≦2π)

の解き方を教えてください。
θの範囲は0≦θ≦2πで。

プログラム等ではなく数式での解法をお願いします。

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  • 終了：2007/05/15 20:21:20
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ベストアンサー

id:kuro-yo No.4

回答回数171ベストアンサー獲得回数29

ポイント250pt

自分で解く事を断念して、検索してみました。

英語ですが、同じ質問をしているページを見つけました。

http://mathcentral.uregina.ca/qq/database/QQ.09.00/roble1.html

このページの回答によれば、直接求める方法（つまり、逆関数）は分からないが、ニュートン−ラプソン法で近似するのが良いだろう、とあります。

今回の式の変数に書き換えると、

\large \theta_{n+1} = \large \theta_n - \frac{A-\theta_n+sin{\theta_n}}{-1+cos{\theta_n}}

で適当な初期値から初めて、収束するまで繰り返せばいいわけです。

結局、直接求める事ができず、近似計算で求めるしかないようですね。

id:kokogiko

ありがとうございます。

やはり？綺麗な形では解けないのですか...。

ちょっと残念ですが、解けない事が判っただけでもよかったです。

ちなみに、なんでこんなのを質問したかというと、「円周上の一点を通り、円をn等分する弦」の中心角を計算してみたところ、

θ - sinθ = 2mπ/n (1≦m≦n-1)

として求まったので、それ以上綺麗に求まらないかと思って質問した物です。

末筆ながら、kuro-yoさんのホラー質問集、いつも楽しく拝見させていただいています。

このたびはどうもありがとうございました！

2007/05/15 20:19:36

その他の回答（3件）

id:yuki_furuya No.1

回答回数83ベストアンサー獲得回数4

ポイント10pt

寝起きで頭がぼーっとしてるから、ミスするかも…。

一応、といてみる。


http://q.hatena.ne.jp/answer


θ - sinθ = Ａ (Ａは定数、0≦Ａ≦2π，0≦θ≦2π)

両辺をθで微分

1 - cosθ = 0

移行して、

cosθ = 1

従って、

θ = 0 + 180πa （aは任意の数）


…、違うかな。

なんか、違う気もしてきた…、けど投稿。

id:kokogiko

両辺を微分するのは意味あるのでしょうか...

例えばそれですと

x^2 = A

を解くのに両辺を微分して

2x = 0

∴x = 0

となってしまわないですか？

2007/05/10 10:09:58
id:daichan330 No.2

回答回数565ベストアンサー獲得回数106

ポイント10pt

確かざっとですが、以下だった気と思います。

※忘れかけてたのでいくらか調べ直しました。


(1) θ → 2π の場合

A = θ - sinθ → 2π - sin2π = 2π - 0 = 2π


(2) θ → 0 の場合

A = θ - sinθ = θ ( 1 - sinθ/θ ) → 0 × ( 1 - 1(※)) = 0


(1),(2) より、0≦θ≦2π の場合、θ - sinθ = A (0≦A≦2π)



※ lim[θ → 0](sinθ/θ) → 1

sinθ ≒ θ - θ^3/3！＋θ^5/5！ - ... 【級数展開】

よって、θ → 0 の場合、

sinθ/θ ≒ 1 - θ^3/3！＋θ^5/5！ - ... ≒ 1 - 0 ＋ 0 - ... → 1


URLはダミーです。

http://q.hatena.ne.jp/1178754346

id:kokogiko

すみません、書き方が判りにくかったかもしれません。

0≦A≦2πとなることの証明ではなく、θ - sinθがAになる場合のθの値を導出したいと言う意味でした。

すみません。

2007/05/10 17:43:46
id:peppe_11 No.3

回答回数9ベストアンサー獲得回数2

ポイント10pt

※π＝3.14

|　　　　　　　　　　　　／

|　　　　　　　　　　／

| 　　　 　　　／

| 　　 　　／

| 　　／

|／

  • 1---2---3-3.14(π)-4----5----6--2π--7-

|

A=θ-sinθ

　　↓

y=X-sinX 　と変換

傾き1のXのグラフに-sinXの波曲線を引いた答えが

0≦y(A)≦2πの範囲にある場合を知りたいのであれば

答えは｢0≦θ≦2π｣の全ての範囲で0≦A≦2πが成り立つってことで

daichan330さんの答えで合ってませんかねぇ？

  • sinの最小値(-1)は3π/2＝3*3.14÷2の、

X＝4.71でやっと-1になるようなy=xに比べるととても緩やかな曲線ですよん


※別に解き方を書いた訳じゃないのでポイントは結構です。

http://q.hatena.ne.jp

id:kokogiko

すみません、やっぱり判りにくいようですが、Aは例えばπ/3、3π/4のような特定の値です。

なんなら0≦A≦2πは忘れていただいても結構です。

θ - sinθ = π/3

θ - sinθ = 3π/4

といった式が、θがいくつの時に成立するか、という事を導く方法が知りたいのです。

2007/05/10 19:09:58
id:kuro-yo No.4

回答回数171ベストアンサー獲得回数29ここでベストアンサー

ポイント250pt

自分で解く事を断念して、検索してみました。

英語ですが、同じ質問をしているページを見つけました。

http://mathcentral.uregina.ca/qq/database/QQ.09.00/roble1.html

このページの回答によれば、直接求める方法（つまり、逆関数）は分からないが、ニュートン−ラプソン法で近似するのが良いだろう、とあります。

今回の式の変数に書き換えると、

\large \theta_{n+1} = \large \theta_n - \frac{A-\theta_n+sin{\theta_n}}{-1+cos{\theta_n}}

で適当な初期値から初めて、収束するまで繰り返せばいいわけです。

結局、直接求める事ができず、近似計算で求めるしかないようですね。

id:kokogiko

ありがとうございます。

やはり？綺麗な形では解けないのですか...。

ちょっと残念ですが、解けない事が判っただけでもよかったです。

ちなみに、なんでこんなのを質問したかというと、「円周上の一点を通り、円をn等分する弦」の中心角を計算してみたところ、

θ - sinθ = 2mπ/n (1≦m≦n-1)

として求まったので、それ以上綺麗に求まらないかと思って質問した物です。

末筆ながら、kuro-yoさんのホラー質問集、いつも楽しく拝見させていただいています。

このたびはどうもありがとうございました！

2007/05/15 20:19:36

コメント（7件)

  • id:yuki_furuya
    yuki_furuya 2007/05/10 09:28:45
    やっぱミスってる…。
    頭が寝てる。
    すません。
    回答、aは任意じゃないですね…。
  • id:yuki_furuya
    yuki_furuya 2007/05/10 09:34:12
    よくよく考えたら、答えそのものも間違ってる…。
    θ = 0, π，2π　かな。
    違ったっけ。(汗)
  • id:yuki_furuya
    yuki_furuya 2007/05/10 10:15:24
    あー、そうですね…。
    全然違うや。
    すません。
    放置して下さい。
    眠気と薬とで頭が回らない…。
  • id:kuro-yo
    くろょ 2007/05/11 19:52:18
    与えられた条件の下で、θをAで表したい、という意味ですよね？
    別の言い方をすれば、Aを独立変数としθを従属変数とする陽関数を求めたい、という事ですね。
  • id:kuro-yo
    くろょ 2007/05/12 00:24:45
    最初、三角関数の逆関数を使って適切な変数変換をすれば初等的に解けるかと思ったんですが…やっぱり無理ですね。積分形式か級数になるんじゃないかと思います。
    また、関数(θ-sinθ)は単調増加関数で、値域と定義域は実数全体になります：つまり、θとAはともに、実数全体で定義できます。0～2πの範囲に制限する必要はありません。

    余談ですが、最初の回答で、微分してしまっておかしくなりましたが、それは、「恒等的に定数である関数」と「方程式の条件」とを混同してしまっためです。
    等式は、それが成り立つと真となる、というだけの意味しかなく、恒に成り立つ時にはそう断らなければなりません。恒に成り立つ等式は「恒等式」と呼び、区別します。大学まで進むと、恒等式を表すのに、等号「＝」の代わりに図形の合同「≡」を使ったりします。
  • id:kuro-yo
    くろょ 2007/05/14 17:43:32
    とりあえず、
    (dA/dθ)^2-2(dA/dθ)+(θ-A)^2=0
    という微分方程式の形にはできました。
    これを解くと、dA/dθ≧0より、
    dA/dθ=1+√(1-(θ-A))
    となり、これを変数分離してθについて解けばいいのですが、適当な変数変換の方法が思い浮かばず、解けずにいます。
    ああ、もっときちんと勉強すれば良かった、…と思う瞬間です（笑）。
    とくに、dθ/dAが（一瞬とはいえ）2π毎に+∞に発散してしまいますので、0<A<2πの範囲に限定しなければならないかもしれません。その範囲外は周期的に求められますし。
  • id:shimarakkyo
    shimarakkyo 2007/05/16 03:44:02
    NR法で近似するのかー。f(θ) = θ - sinθ -Ａ をテイラー展開したりグラフを書いたりして一人で路頭に迷っていました。

    こういうパズルって、解けないとものすごく気になるんですよねー。ずっと奥歯に何かが挟まったままみたいな気分でいました。だのでkuro-yoさんに感謝〜！

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