英語の文法、語法に関する質問です。

http://www2.alc.co.jp/ejr/index.php?word_in=right+on&word_in...

"right on"は「ちょうど」と捉えるといいと思います。

似たような用法に

right on time

時間ぴったりに

right there

すぐそこに

などがあります。

なので、"right on「すぐ」"が"driving by「そばを（車が）通る」"を強調していると考えると分かりやすいです。

品詞は

driving 動詞 現在分詞形

right 副詞

on 前置詞

by 前置詞

by や on はこの場合前置詞ではなく副詞です。

英語には両方の働きをする単語が "by" "on" のほかにも色々あります ("in" "off" "before" などなど)。

"right on" の意味などについては MonsleurU さんの回答のとおりです。

When we crossed the street, a car was driving right on by.

簡単そうに見えますが、ちょっと厄介な文に思います。意味としては「すぐそばを通り過ぎて行った」とのことですが、とすると、「通りを横断したときに、１台の車がすれすれのところを通っていった」で、通りを渡り終えたときにすぐ側を通っていったのか、渡っている最中なのか（この場合when we were crossing... が自然ですが）、また車が通った場所は、その人の体のすぐ側なのか、あるいはすぐそこの交差点のあたりなのか、状況がいろいろありえます。

１番のかたのご回答の通り、right onを１まとまりで取ることも状況によってはできると思いますが、私は英文を見たときに

drive on + right by → drive right on by

になったのではないかと思いました。とすると語順が入れ替わったことも気になるのですが、話し言葉では強調のためにrightが前に出てこういうふうになることもあります。つまり「横断歩道を歩いて渡っている人がいるというのに、車がすぐ側を走っていったんだけど、危ないよね、ひやっとしたよ」ということが言いたい場合など。

この場合、品詞としては：

drive on （動詞＋副詞）「車で走り続ける」

※ブレーキをかけずに走っていく、という感じ。このonは《接触》のon（＜これは前置詞）ではなく《動作の進行》のonです。keep on talking「話し続ける」のon。

right by （副詞＋副詞）「すぐそばを」

※１番のかたの回答のほうが妥当であるかもしれませんが、いずれにせよ、byは目的語がありませんから、前置詞ではなく副詞です。Times goes by. （時間が過ぎていく）のbyです。「そばに、かたわらに、付近に」、「通って、過ぎて」という意味です。

つまり、drive right on by は「動詞＋副詞＋副詞＋副詞」ではないでしょうか。

なお、drive right on byでGoogle検索すると、「車が停止せずただ走りすぎていく」という用法が数多くヒットします。検索結果からみると米語のセットフレーズのようでもありますね。（セットフレーズの場合は文法や語法から解析しようとするより、例文を多く探してみたほうがピンときやすいかと思います。）

例： Next is Ho'okena beach, most tourist drive right on by without even noticing the sign.

（次はHo'okenaビーチ、ほとんどの観光客が標識に気づくこともなく通り過ぎてしまうようなビーチだ）

http://www.diverdansbnbhawaii.com/

他の例文は、http://www.google.com/search?q=%22drive+right+on+by%22　でbyが前置詞でないもの（byの後にすぐコンマやピリオドがあるもの、または接続詞のandなどがあるもの）を見てみてください。

※回答にあたり、手元の辞書（研究社の『リーダーズ』）を参照しました。