次の拡散方程式（非線形項あり）の解f=f(t,x)がわかったら教えてください。特解でもかまいません。

D_t f = (D_x)^2 f + k * f * D_x f

fは、t>0かつ-∞<x<∞で定義されたなめらかな実数値関数、kは正の定数です。D_tはtによる偏微分、D_xはxによる偏微分を表します。（弱電離プラズマの振る舞いを調べていたら、この方程式が出てきました。）

いま、わかっていることを参考までに書きます。たとえば、初期波形として（振幅の大きな）正弦波を選んでみます。直感的には、時間が経つにつれ、右上がりの坂はどんどん急に、右下がりの坂はどんどんなだらかになって、ノコギリ波のようにひずみながら崖の高さは高くなる。そのひずむスピードと、拡散の効果でぼやけていくスピードとが競争する、というイメージの解になりそうです。