[http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%AB%E3%83%BC%E3%83%A0%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%82%BF:title=ブルームフィルタ]

Question

19

100pt

上記のリンク先の "誤検出の可能性" に書かれた数式
[tex:(1-(1-1/m)^{kn})^k \simeq (1-e^{-kn/m})^k]
の両辺がほぼ等しい理由を教えて下さい。

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quintia · Accepted Answer · 2007-12-04T20:55:28+09:00

$\lim_{n \to \infty} (1-\frac{1}{n})^n = e^{-1}$ から導くのだと思います。

質問の式の左辺の中にある $(1-\frac{1}{m})^{kn}$ を、 $(1-\frac{1}{m})^{m\cdot \frac{kn}{m}$ と変形します。

ここで「mが十分に大きく $(1-\frac{1}{m})^{m}$ の部分を $e^{-1}$ で近似できる」とすると、 $e^{-1 \cdot \frac{kn}{m}}$ の形になり、右辺にある $e^{-kn/m$ がでてきます。

最初の式は指数関数の定義 $e^x\equiv\lim_{n \to \infty} (1+\frac{x}{n})^n$ に $x=-1$ を代入した形です。

ベストアンサー