かけ算と割り算について質問です。

　ピタゴラスの定理(直角三角形の面積)がピタゴラスによって発見されたように、実際に仕事をしながら発見されて来たのだと思います。

　ピタゴラスの定理：

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/pythagoras/pythagoras3.ht...

　面積は足し算の繰り返しでは表現出来ません。やはり、こう扱うと便利だと発見されたのだと思います。

　｢新しい量を導くことに使える｣と発見されたものでしょう。過去の膨大な知識を下敷きにして発見したものと考えられます。

新しい量とは単位のことを言いたいのではないでしょうか。

線の長さ（ｍ）×線の長さ（ｍ）＝面積（ｍ＾２）

長さ（ｍ）÷時間（ｓ）＝速度（ｍ／ｓ）

量の足し算は単位が変わりませんが，量のかけ算は単位が変わります。

これは答えの量が違う意味を持っているということです。

逆に考えることもできるのではないでしょうか。

かけ算や割り算(特に割合の計算等)で生まれたものに新しく意味を付与しているものだとも考えられます。

長さと、その長さ進むのにかかった時間がわかっているとして、単位時間あたりの移動距離が考えられます。これはまだ速さをあらわしているわけではありません。

割り算でえられたものはあくまでも単位時間あたりの移動距離なのですが、単位時間で5m進むものと10m進むものを考えた時に目で見て速さが違うことがわかります。それを『速さ』を比べるものとして利用したと考えてみるとか。

ぱっと他の具体例が出ないのでとりあえずこれだけ。

掛け算だから、割り算だから　と言うよりは単位をそのように定義したからでは？

速度を表すのにどのようにしよう？

1時間でどのくらい進むかを単位に決めよう。

時間当たりだから、距離/時間　になる。

と言うことで割り算が使われる。

意味からいえば1時間当たりと言う単位を考えて

1/時間

として、これに距離を掛け算すれば速度になると考えても良いですよね。

速度＝1/時間×距離

「数値」と「数量」の認識です。数値は無次元なので掛け（賭けではありません）ても割っても数値です。

数量は次元（ディメンション）があります長さ×長さ＝面積、次元の異なる数量は加える事や差し引くことはできません。

掛けたり、割ったりすると新しい次元の数量が生まれるとはそういうことです。

例：面積（L*L)と体積（L*L*L)の足し算は意味がありませんが体積を面積で割ると長さ（平均高さ）が求められます。

普通、計算するときは「数値」で計算し後でディメンションをつけますが、それぞれの項のディメンションが全て一致してなければ和、差は計算できません。そこのところをいい加減に考えているとえらい目にあいます。

悩まれるのは正しいことだと思います。

数学の場合は所々に矛盾があったりします。

例えばゼノンの逆理の「飛ぶ矢や止まっている」

ある一瞬を考えるとその時の矢は静止している、しかし静止しているものは動くはずはない。

これは、直線の傾きを考える時、２点を通る直線は引けますが、ある点での傾きを引くことはできない（１点を通る直線は無数に引けるため）ことを意味します。

ゼノンの逆理は「運動している物体のある点における速度を求めることはできない」ということを意味します。

小学校でならう「速さ＝道のり÷時間」という式も時間が０になる「ある一瞬」の速度は求めることはできない。しかし、等速運動の場合は常に同じ速さなわけだから「ある一瞬」の速度も同じ速度になるという矛盾が生じるわけです。

同じように線を集めて面にするといっても線とは幅の無いものなので線をいくつ集めても面にはならないわけです。

これは静止した矢を集めても運動にならないことと同じです。

また、平面には厚みがないので平面をいくつ集めても立体にはなりません。

次元が変わる場合には、運動のように「静止かつ動いている」という矛盾した状態が必要になります。

線が「幅がなくかつ幅がある」という状態を持たなくては面にならないのと同じです。

これは微積分が見つかる前までは、矛盾であるとされていたのですが、「もし、分母が「０かつ０でない」という状態を許したらどうなるか」と考えて「極限」の概念でその矛盾を回避しているわけです。

“かけ算はなぜ新しい量を作ることができる”というのも一般的に成り立つわけではなくて、対応する物理量が存在する場合に限られるように思います。

長さ×長さ、が面積

長さ×長さ×長さ、が体積

というのはいいとして、

長さ×長さ×長さ×長さ、は何でしょう。四次元立体の体積かな。

他にも、質量×長さという掛け算の結果には対応する物が無いような気がします。これが質量×速度ならば運動量と呼ばれる物になるのですが。掛け算という操作は実際の何らかの行動を抽象化したものなので、そういう意味でも掛け算が何を表すかということは場合によるのではと思います。

足し算の場合でも同じで、たとえ同じ物理量同士でも４０度と７０度のお湯の温度を足すことは出来ません。

かけ算して単位の違う量を出す計算の背後には、単位の違う量の間の比例関係があります。

例えば大昔、人は歩く時間と歩いた距離が比例することを見つけて、この比例係数を速度と命名しました。これを時間に掛ければ距離が出るという便利な量です。

同じように、無関係に見える量が比例していることを見出して物理学の大発見となる例が多くあります。光の振動数と光子一個のエネルギーが比例することが発見され比例係数はプランク定数と命名されました。また遠くの星ほど速く遠ざかっていることが発見され、その比例係数はハッブル定数と命名されました。ほかにもボルツマン定数とかいろいろあります。有名なの場合は比例定数が既知の光速という量だったためアインシュタイン定数という名前にはなりませんでした。

まだ、どなたも書いていらっしゃらないので、ちょっとだけコメントさせていただきます。

「かけ算」は、元来、確かに、「足し算」の繰り返しとして考え出されたものであることに議論の余地はないと思いますが、数学の発展の過程で、マイナスや虚数といった概念が生み出されてからは、単に足し算の「繰り返し」に還元できるものではなくなっています。

たとえば、５ｘ(－３)は、もはや５の足し算を－３回繰り返すという風には解釈できません。逆に－３回というものをここから無理矢理定義することは可能ですが・・・。

同じように、ベクトル量(複素数)のかけ算なども、外積(ベクトル積)、内積(スカラー積)と、違った定義のかけ算が出現しますし、小学生、中学生の理解するかけ算とはかけ離れた概念になっていると思います・・・って、話が難しくなりすぎますね。

ある意味では、「かけ算が足し算に還元できる」という発想を超えたところに、「かけ算」が新しい概念たる所以があると私は思います。

話が難しくなっていて、正確に伝わるかどうか、不安ではありますが・・・。