解答のついていない練習問題で、次の分数式のxに関する不定積分を考えましたが、力尽きました。どなたかご教示お願いします。

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わにかめ７８

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解答のついていない練習問題で、次の分数式のxに関する不定積分を考えましたが、力尽きました。どなたかご教示お願いします。

1/（1 + e^x）

回答の条件

1人3回まで

登録：2008/03/02 02:14:01
終了：2008/03/03 21:30:05

※ 有料アンケート・ポイント付き質問機能は2023年2月28日に終了しました。

imo758 2008/03/03 02:27:13

回答権が無かったのでコメント欄で。
x - log(1 + e^x) + C　…suzumenoko_pokeさんの回答
= log(e^x) - log(1 + e^x) + C
= log{(e^x) / (1 + e^x)} + C
= log{1 / (e^-x + 1)} + C
= log{(e^-x + 1) ^ -1} + C
= -log(e^-x + 1) + C　…おおよそkosuke2020さんの回答
よってkosuke2020さんの回答とsuzumenoko_pokeさんの回答は、おおよそ、同一のものの別表現です。
suzumenoko_poke 2008/03/03 18:07:05

3行目で求める関数自体が変わってますね^^;すいません
∫1/(1+e^x)dx=∫(1/t)dx=∫dt/t(t-1)=・・・（以下同じ）　ですね^^;
kosuke2020 2008/03/04 17:42:10

どうも、１の回答者です。まず、積分定数を忘れていましたので、そこを訂正します。申し訳ありませんでした。

＞f(x)の真数部ですが、e^-xは正なので、真数が負の数にはなり得ず、絶対値記号は不要ではないでしょうか？

-∞<x<∞でe^-x>0なので、絶対値の記号は不必要ですね。

suzumenoko_pokeさんの置換の方法も正しく、suzumenoko_pokeさんの方法で導かれた答えと僕の回答は、imo758さんのコメントやtakao78ksさんが僕の回答へのコメントで導かれていたように、表現の仕方が異なるだけで全く同じものだと思いますが、いかがでしょうか。

-log(e^{-x}+1) = -log[(1+e^x）/e^x] = log(e^x)-log(1+e^x) =x-log(1+e^x)

一番左が僕の回答での記述、一番右がsuzumenoko_pokeさんの回答での記述です。
同じものを異なる記述で示しただけ、のように思います。
わにかめ７８ 2008/03/05 00:07:19

kosuke2020さんご丁寧に返事ありがとうございました。
やっと納得できました。

「あの人に答えてほしい」「この質問はあの人が答えられそう」というときに、回答リクエストを送ってみてましょう。

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リクエスト送信済

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kosuke2020 · Answer 1 · 2008-03-02T04:19:20+09:00

No.1

kosuke20207382008/03/02 04:19:20

40pt

$f(x)=-log|e^{-x}+1|$ ですね。

$f'(x)=-\frac{1}{e^{-x}+1}*(-e^{-x})$

$=\frac{e^{-x}}{e^{-x}+1}=\frac{1}{1+e^x}$

koseke2020さん解答ありがとうございます。f(x)の真数部ですが、e^-xは正なので、真数が負の数にはなり得ず、絶対値記号は不要ではないでしょうか？それだとすれば、真数部を通分すると、

（1+e^x）/e^x　となると思います。したがって、

f(x) = -log[(1+e^x）/e^x]=log(e^x)-log(1+e^x)=x-log(1+e^x)

よって、

f'(x)= 1-e^x/(1+e^x)=1/(1+e^x) 命題の与式になりました。

別解として、suzumenoko_pokeさんのtで置換する方法でも出来るはずと思うのですが、結果が一致しません。どちらも正しく思えます。

2008/03/03 21:23:06

toketake · Answer 2 · 2008-03-02T12:00:24+09:00

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A1%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%9...

suzumenoko_poke · Answer 3 · 2008-03-02T17:10:25+09:00

No.3

suzumenoko_poke102008/03/02 17:10:25

40pt

$1+e^x=t$ とおくと

$\int\frac{1}{1+e^x}dx=\int\frac{1}{t}dx$

$\frac{dt}{dx}=e^x$ より $dx=\frac{dt}{e^x}=\frac{dt}{t-1}$

よって $\int(1+e^x)dx=\int{tdx}=\int\frac{dt}{t(t-1)}=\int(\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t})dt$

$=log|t-1|-log|t|+C=log{e^x}-log(1+e^x)+C=x-log(1+e^x)+C$

suzumenoko_pokeさん回等ありがとうございます。なるほど、tｆで置換するのはよくわかります。ただ、kousuke2020さんの回等と食い違うので、ひとつ確認ですが、dx=dt/(t-1)なら、∫tdx = ∫tdt/(t-1)=∫dt+∫dt/(t-1)ではないでしょうか？引き続きお願いします。　

2008/03/02 20:53:19

解答のついていない練習問題で、次の分数式のxに関する不定積分を考えましたが、力尽きました。どなたかご教示お願いします。

回答（3件）

kosuke20207382008/03/02 04:19:20

toketake1302008/03/02 12:00:24

suzumenoko_poke102008/03/02 17:10:25

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