＞当区が認めている近隣地区の方は区外利用者カード（黄色のカード）を作ることができます。
http://www.lib.adachi.tokyo.jp/info/question/index.html
と書いてあります。
ここでいう「認めている近隣地区」とはどこの区なのでしょうか？
No.1
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http://www.lib.adachi.tokyo.jp/info/map/index.htmlのサイトから、
認めている近隣地区は、北区、荒川区、葛飾区ではないかと考えられます。
回答になっていなくて、申し訳ありません。
No.2
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以下の区・市でしょうか
http://www.tokyo-toshokan.net/libdata/adachi.htm
＞足立区立図書館 共通データ
利用登録できる人
特例として東京23区・川口市・草加市・八潮市在住の方
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ありがとうございました。