x^2-2x+k=0について、これが異符号の２解をもつような実数kの条件を求めよ。
＜質問＞
手元の解答例では、はじめから解を実数として考えています。なぜ実数だとはじめから
言えるのですか？なんかものすごく基本的なことのような・・・。怖いな。宜しくお願いします。
No.1
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ｘが複素数だとすると、虚数iが出てきてしまった時点で、x>0かx<0なのかわからなくなってしまいます。つまり、符号が定義されないのです。このように、「ｘ＝正、負」という条件が付いたとき、xは実数だと考えていいのです。虚数に正負はありませんからね。
当然、もし「異符号の」という記述がなかったら、ｘが実数とは限りません。
No.2
1192
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http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0
x^2-2x+k=0
kは問題文より実数。
xが虚数であるとき、-2xの部分を消すことのできる数字がないから。（ほかがすべて実数となるため）
No.3
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http://q.hatena.ne.jp/1206164935
はじめから解を実数として
が、「kが実数」「xが実数」のどちらか分からなかったので２通りの回答を。
・ｋが実数
kが複素数であるならば、元の２次方程式の解は実数ではありえないので複素数。
元の２次方程式の解が複素数でなおかつ異符号であるということは、x=a＋bi、-(a+bi)（ただしb≠0）が解ということ。a+biをＡとして、
この２数が解ということは、元の方程式は(x-A)(x+A)=0という形になるはずで、xの１乗の係数が-2に成りえない。
したがって、kは実数です。
・xが実数
元の２次方程式の解は x=2±√(4-k) なわけですが、もしこれが複素解であるとすると、共役複素数になるはずで、共役複素数は実数部分の符号は同じなので、異符号の２解という条件を満たしません。
なので、元の方程式の解であるxは実数。
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よくわかりました。ありがとうございます。