パズルに挑戦 No.2

答えとしては

a : 8

b : 20

c : 18

d : 7

e : 15

f : 6

g : 5

h : 3

i : 23

j : 4

k : 19

m : 22

n : 16

p : 1

です。

調べ方は、まず横の3列目に注目しました。

ここの数字は、表示されている時点で合計が57になっています。

つまり、残りは8です。

残りの数字のうち、8になる組み合わせは『1と7』か『3と5』のどちらかのみです。

ここで注目するのは、縦の左側の列です。

ここの合計は、35なので残りは30となります。

30になる組み合わせは、『7と23』か『8と22』のどちらかです。

仮に、横の3列目が『1と7』だった場合、縦の一番左側の列は、『8と22』しかなくなります。

ところが、『8と22』をdとiのどちらに入れても、すべて65にすることは出来ません。

数字を埋めているうちに、必ず成り立たない組み合わせのみが残ってしまいます。

この時点で、横の3列目は『3と5』が確定します。

あとは、gとhのどちらが3で、どちらが5になるかを考えます。

同じように調べていくと、gが3というパターンでは成り立たなくなります。

結果、gが5で、hが3ということが確定します。

この時点で、左2列が残り30となります。

30の組み合わせは『7と23』か『8と22』ですので、どちらかが前者、どちらかが後者となります。

これはここでひとまず置いておきます。

次に確定させたのは、縦の右から2列目です。

ここの残りは残りは36となります。

しかし、22と23は左の列で確実に使うのではずすと、『20と6』の組み合わせのみしか考えられません。

bに6を入れてしまうと、一番上の横の列まで、残りが30になってしまうため、これでは完成できません。

この結果、bが20で、nが16となります。

今度は、一番下の横列を見ます。

この時点で残りは23ですが、片方が『7と23』か『8と22』の入る30の列と被るため、どうしても『8と22』のどちらかが入ることになります。

つまり、一番左の列が『7と23』、左から2列目が『8と22』の入る列となります。

もし、dに23を入れてしまうと、下から2列目が残り39となります。

この時点で、39にする組み合わせは出来ないため、dが7で、iが23となります。

次に中央の縦列を見ます。

ここの残りは19ですので、『1と18』か『4と15』のみの組み合わせとなります。

注目はjの枠です。

ここに、1を入れると下から2番目の残りは22。

4を入れると下から2番目の残りは19。

15を入れると下から2番目の残りは8。

18を入れると下から2番目の残りは5。

この4種類のうち、22と8は別のところで使うために可能性は否定できます。

さらに、5は既に確定しているので、残りの4がjに入ります。

必然的に、eが15、kが19となります。

そして、fが6と自動的に決まります。

残った数字は、1と8と18と22の4つです。

左から2列目は、『8と22』。

一番上の列は、『8と18』。

という組み合わせしか考えられないため、aが8でcが18。

さらに自動でmが22、pが1となり、升目がすべて埋まり、縦横の合計が65となりました。

とまぁ、半分後付な理由だったりしますが。

途中まで調べて、あとはしらみつぶしに数字を埋めていったら、偶然にも最後のようなパターンを見つけた。というだけだったり（＾－＾；

いちおー、理論付けてみましたけどどうでしょうか？

ちなみに、Excelを使って解いてみました。

関数は合計の関数と差分を求める計算式のみです（笑）

まず

a+b+c=46

d+e+f=28

g+h=8

i+j+k=46

m+n+p=39 167

d+i=30

a+g+m=35

e+j=19

b+h+n=39

c+f+k+p=44 167

これを機械的に解くのは，12個の変数に10個の式なのでちょっと困難。

＃a~pまでを全て足した数は独立した条件とはならない。

１～25の整数を1回のみ使うという制約をフルに活用する。

g+h=8となるg,hの組み合わせは，

(g,h)=(1,7),(3,5),(5,3),(7,1)の4とおり。

（２は使えないし，４＋４は駄目）

次に既に埋まっている数字を利用すると，2つの数字を足して32にしてはならないという条件が導かれる。

( （7,25),(8,24),(9,23),(10,22),(11,21),(12,20),(13,19),(14,18),(15,17),(16,16)のいずれも許されない。)

そうすると，3つの数字の和の式においてタブーとなる数字が出てくる。

m,n,pのいずれも7であってはならない。

a,g,mのいずれも3であってはならない。

b,h,nのいずれも7であってはならない。

なお，他の数式については新たな制約とはならない（a,b,cは14とはならないというのは，14が盤面に使われている以上意味なし）。

そうすると

(g,h)=(5,3),(7,1)の2とおりに限定される。

次に

(d,i)=(7,23),(8,22),(22,8),(23,7)の4とおり。

この二つを適当に仮定してやると，

8つの変数に，8つの条件式。解けるはず。

しかしここでは魔法陣の性質を活かしつつ，計算を省力化していく。

(g,h,d,i)=(5,3,7,23)と仮定すると

a+b+c=46

e+f=21

j+k=23

m+n+p=39

a+m=30

e+j=19

b+n=36

c+f+k+p=44

(e,f)=(1,20),(6,15),(15,6),(20,1)

(j,k)=(1,22),(4,19),(8,15),(15,8),(19,4),(22,1)

(a,m)=(8,22),(22,8)

(e,j)=(1,18),(4,15),(15,4),(18,1)

(b,n)=(16,20),(20,16)

a,mのどちらかで８，２２の両方を使わなければならないことに着目すると，

(j,k)=(4,19),(19,4)

これとe,jの制約条件をかみ合わせると

(e,j,k)=(15,4,19)

しかし，これはe,jの制約条件と矛盾

(g,h,d,i)=(5,3,8,22)と仮定すると

a+b+c=46

e+f=20

j+k=24

m+n+p=39

a+m=30

e+j=19

b+n=36

c+f+k+p=44

(e,f)=(1,19),(4,16),(16,4),(19,1)

(j,k)=(1,23),(4,20),(6,18),(18,6),(20,4),(23,1)

(a,m)=(8,22),(22,8)

(e,j)=(1,18),(4,15),(15,4),(18,1)

(b,n)=(16,20),(20,16)

これらの制約条件を満たすのは，(e,f,j,k)=(1,19,18,6)しかあり得ない。

(a,b,m,n)=(8,16,22,20),(8,20,22,16),(22,16,8,20),(22,20,8,16)

そのときc,pは上記の順で(c,p)=(22,-3)(18,1)(8,11)(4,15)

であるが他の数字との重複を除くと(c,p)=(4,15)しかない。

そうすると，

(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,m,n,p)=(22,20,4,8,1,19,5,3,22,18,6,8,16,15)

が制約条件を満たす。

＃ただし，これが唯一解であるかは保証されていない。

＃さらなる計算が必要である。

魔法陣の形で記載すると下のとおり。

10_22_ 9_20_ 4

8_13_ 1_24_19

11_ 5_25_ 3_21

22_17_18_ 2_ 6

14_ 8_12_16_15

使われていない数字の集合を

S1 = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 15, 16, 18, 19, 20, 22, 23}

とします。

3行目に注目すると g + h = 8

S1の中で足して8になるペアは {1,7} と {3,5} だけです。

つまり (g,h) = (1,7) or (7,1) or (3,5) or (5,3) となります。

しかしS1の中で足して32になるペアが無いため

h=7 の場合は4列目を満たす(b,n)が存在せず、

g=3 の場合は2列目を満たす(a,m)が存在しません。

よって、(g,h) = (7,1) or (5,3) に絞られます。

□ (g,h) = (5,3) と仮定してみます。（こちらの方が (a,m),(b,n) の候補が少なくなるので ）

するとS1の中で4列目 b + n = 36 を満たす解 (b,n) = (16,20) or (20,16) が決まりますが

b=16 の場合、a + c = a + m = 30 かつ c ≠ m となり不適格。

よって

□ (b,n) = (20,16)

この時点でまだ使われていない数字の集合を

S2 = {1, 4, 6, 7, 8, 15, 18, 19, 22, 23}

とします。この中で 2列目、1行目、5行目を同時に満たす組み合わせを列挙すると

(a,m) = (8,22) , (c,p) = (18,1)

or

(a,m) = (22,8) , (c,p) = (4,15)

のどちらかしかありません。

どちらにせよ c + p = 19 (ゆえに f + k = 25) が成り立ちます。

また、どちらにせよ a と m で 8 と 22 が使われるので

S3 = S2 - {8,22} = {1, 4, 6, 7, 15, 18, 19, 23}

とします。

ここで残りの変数 d,e,f,i,j,k について考えます。

分かっている方程式は

• (1) d + i = 30 (1列目)
• (2) e + j = 19 (3列目)
• (3) f + k = 25 (5列目)
• (4) d + e + f = 28 (2行目)
• (5) i + j + k = 46 (4行目)

S3 の中で (1) を満たすペアは {7,23} しか無いので (d,i) = (7,23) or (23,7)

S4 = S3-{7,23} の中で(3)を満たすペアは {6,19} しか無いので (f,k) = (6,19) or (19,6)

(4),(5)を使って

(28-e, 46-j) = (d+f, i+k) = (7+6, 23+19) or (23+19, 7+6) or (7+19, 23+6) or (23+6, 7+19)

すなわち

(e,j) = (15,4) or (-14, 33) or (2, 17) or (-1, 20)

このうち、S4-{6,19} の中に含まれるのは

□ (e,j) = (15,4)

のみです。

あとは手順を逆に辿って、

□ (d,i) = (7,23)

□ (f,k) = (6,19)

□ (c,p) = (18,1)

□ (a,m) = (8,22)

を得ます。

(g,h) = (7,1) のケースをまだ考えていませんが、

とりあえずこんな感じで一つ解が見つかりました。

先ほどの回答で唯一解であることを示していなかったのでこの点について補足を行う。

先の解答では

(g,h,d,i)=(5,3,7,23),(5,3,8,22)について検討を加えたので，

ここでは，

(g,h,d,i)=(5,3,22,8),(5,3,23,7),(7,1,8,22),(7,1,22,8)を順次検討する。

＃h=1のときは,d,iに1を使えないことに留意。

(g,h,d,i)=(5,3,22,8)を検討

a+b+c=46

e+f=6

j+k=38

m+n+p=39

a+m=30

e+j=19

b+n=36

c+f+k+p=44

このときは，2,5が使用済みのためe,fの適当な組み合わせが存在しない。

(g,h,d,i)=(5,3,23,7)を検討

a+b+c=46

e+f=5

j+k=39

m+n+p=39

a+m=30

e+j=19

b+n=36

c+f+k+p=44

(e,f)=(1,4),(4,1)

(j,k)=(16,23),(19,20),(20,19),(23,16)

(a,m)=(8,22),(22,8)

(e,j)=(1,18),(4,15),(15,4),(18,1)

(b,n)=(16,20),(20,16)

b,nの組み合わせで16,20の両方を使わなければならないが，そうするとj,kの制約条件を満たせなくなる。

次に，(g,h)=(7,1)の場合を考える。

このとき(d,i)=(8,22),(22,8) (7を2回使えない。）

(d,i)=(8,22)を検討

a+b+c=46

e+f=20

j+k=24

m+n+p=39

a+m=28

e+j=19

b+n=38

c+f+k+p=44

(e,f)=(4,16),(5,15),(15,5),(16,4)

(j,k)=(4,20),(5,19),(6,18),(8,16),(16,8),(18,6),(19,5),(20,4)

(a,m)=(5,23),(23,5)

(e,j)=(3,16),(4,15),(15,4),(16,3)

(b,n)=(15,23),(18,20),(20,18),(23,15)

a,mの組み合わせで5と23を使ってしまうことを考慮に入れると，

(e,f)=(4,16),(16,4)

(j,k)=(4,20),(6,18),(8,16),(16,8),(18,6),(20,4)

(a,m)=(5,23),(23,5)

(e,j)=(3,16),(4,15),(15,4),(16,3)

(b,n)=(15,23),(18,20),(20,18),(23,15)

e,fの組み合わせで4,16を使ってしまうことを考慮に入れると，

(e,f)=(4,16),(16,4)

(j,k)=(6,18),(8,16),(16,8),(18,6)

(a,m)=(5,23),(23,5)

(e,j)=(3,16),(4,15),(15,4),(16,3)

(b,n)=(15,23),(18,20),(20,18),(23,15)

(e,j),(j,k)の組み合わせを見たそうとすると，(e,j,k)=(3,16,8)しかないが，

これはe,fの制約条件に反する。

最後に(d,i)=(22,8)を検討する。

a+b+c=46

e+f=6

j+k=38

m+n+p=39

a+m=28

e+j=19

b+n=38

c+f+k+p=44

しかし，1,2は使用済みなのでe+f=6の制約条件を満たし得ない。

よって，先に回答したものが唯一解であることが示された。

＃結局力技です。

＃なお，先ほどの解答で167と書いてあるのは検算の名残なので無視してください。

まず次のように書いた紙切れを作ります。

１●３４５６７８●●●●●●1516●181920●2223

2322●201918●1615●●●●●●８７６５４３●１

これをノギスのようにかみ合わせて使うと、二項和の組み合わせ表が楽に作れます。するとある数字を作るための二項和の組み合わせはかなり限定されていることに気づきます。特に二項和で32となるものは無いという重要な結果が得られます。ここでg=3だとa+m=32、h=7だとb+n=32とそれぞれ破綻するので(g,h)=(7,1),(5,3)です。

【h=1】d,e,fのどれかに22が入ることはありません。もし入れると残りの二項和は1+5となり、g+hが構成できません。なので(d,i)=(8,22)です。以降あまり選択の余地の無いまま推論を進めていくと、破綻が容易に確認できます。

【h=3】nに注目します。ここはn+p+m=n+b+h=39という要所にあるので、39-nの二項和は二通り以上の構成法を要求します。よってここに放り込めるのは既に16,18,20しかありませんが、もう総当りでも苦になりません。そしてn=16の場合のみ唯一解に到達します。

小さい数字の組は限定されますので、既に入っている数字の和の大きいところから始めます。

以下、横を上からの「行」で、縦を左からの「列」で、表記します。

まず、もっとも合計の大きい３行目（g,h）から始めます。

g + h = 65 - ( 11 + 25 + 21 ) = 8
⇒
(g,h) = (1,7),(3,5),(5,3),(7,1)

次は、３列目です。

e + j = 65 - ( 9 + 25 + 12 ) = 19
⇒
(e,j) = (1,18),(3,16),(4,15),(15,4),(16,3),(18,1)

次は、２行目です。eに入り得るものは上で決まっていますので、おのおののe毎に当てはめます。(e,j)の値によっては(g,h)が制限される事に注意して当てはめて行きます（例えば、e=1,7の時は3,5も使えない、など）。ここまで来ると力技です（笑）。

d + e + f = 65 - ( 13 + 24 ) = 28
⇒
(d,e,f) = 
 (4,1,23),(7,1,20),(8,1,19),(19,1,8),(20,1,7),(23,1,4),
 (6,3,19),(8,3,17),(17,3,8),(19,3,6),
 (1,4,23),(5,4,19),(6,4,18),(8,4,16),(19,4,5),(23,4,1),
 (5,15,8),(6,15,7),(7,15,6),(8,15,5),
 (4,16,8),(8,16,4),
 (4,18,6),(6,18,4)

次は、１列目です。…やってて気付きましたが、２行目より先に１列目をする方が簡単です（笑）

d + i = 65 - ( 10 + 11 + 14 ) = 30
⇒
(d,e,f,i) = 
 (7,1,20,23),(8,1,19,22),(23,1,4,7),
 (8,3,17,22),
 (8,4,16,22),(23,4,1,7),
 (7,15,6,23),(8,15,5,22),
 (8,16,4,22)

次は、４行目です。e,i,jが既に決まってますので、簡単です。

i + j + k = 65 - ( 17 + 2 ) = 46
⇒
(d,e,f,i,j,k) = (8,1,19,22,18,6),(7,15,6,23,4,19),(8,15,5,22,4,20)

一旦整理すると、

(d,e,f,g,h,i,j,k) = 
 (8,15,5,1,7,22,4,20),
 (8,1,19,3,5,22,18,6),(7,15,6,3,5,23,4,19),
 (8,1,19,5,3,22,18,6),(7,15,6,5,3,23,4,19),
 (8,15,5,7,1,22,4,20)

ここまでくると、どこから攻めてもあまり変わりませんので、２列目に行きます。

a + g + m = 65 - ( 13 + 17 ) = 35
⇒
(a,d,e,f,g,h,i,j,k,m) = 
 (16,8,15,5,1,7,22,4,20,18),(18,8,15,5,1,7,22,4,20,16),
 (7,8,1,19,5,3,22,18,6,23),(23,8,1,19,5,3,22,18,6,7)

４列目。

b + h + n = 65 - ( 24 + 2 ) = 39
⇒
(a,b,d,e,f,g,h,i,j,k,m,n) = 該当なし

…あれ？

次の順番でやってみました。

d + i = 65 - 35 = 30
⇒ (d,i) = (23,7),(22,8),(8,22),(7,23)

g + h = 65 - 57 = 8
⇒ (g,h) = (1,7),(3,5),(5,3),(7,1)

e + j = 65 - 46 = 19
⇒ (e,j) = (1,18),(3,16),(4,15),(15,4),(16,3),(18,1)

a + g + m = 65 - 30 = 35
b + h + n = 65 - 26 = 39
※数が多いので省略：各(g,h)毎に求めます。

この段階で、存在しない組み合わせを排除すると、

(g,h) = (5,3),(7,1)
(d,g,h,i) = (23,5,3,7) (7,5,3,23) (22,5,3,8) (8,5,3,22) (22,7,1,8) (8,7,1,22)

を得ます。

a + g + m = 65 - 30 = 35
b + h + n = 65 - 26 = 39
⇒
(a,g,h,m) =
 (23,5,3,7),(22,5,3,8),(8,5,3,22),(7,5,3,23),
 (23,7,1,5),(22,7,1,6),(20,7,1,8),(8,7,1,20),(6,7,1,22),(5,7,1,23)
(b,g,h,n) =
 (20,5,3,16),
 (23,7,1,15),(22,7,1,16),(20,7,1,18)

d + e + f = 65 - 37 = 28
i + j + k = 65 - 19 = 46
⇒
(e,j,d,f,i,k) =
 (1,18,22,5,8,20),
 (15,4,8,5,22,20),
 (15,4,7,6,23,19),(16,3,7,5,23,20),(18,1,7,3,23,22)

再び、矛盾する組み合わせを排除すると、

(e,j,d,f,i,k,g,h,b,n,a,m) =　(15,4,7,6,23,19,5,3,20,16,22,8),(15,4,7,6,23,19,5,3,20,16,8,22)

を得ます。一旦、魔法陣に書き戻しますと、

10_ a_ 9_ b_ c
 d_13_ e_24_ f
11_ g_25_ h_21
 i_17_ j_ 2_ k
14_ m_12_ n_ p
⇒
10_ a_ 9_20_ c
 7_13_15_24_ 6
11_ 5_25_ 3_21
23_17_ 4_ 2_19
14_ m_12_16_ p

使われてない数字は、

1,8,18,22

です。したがって、残りは、

a + c = 65 - 39 = 26 = 8 + 18
m + p = 65 - 42 = 23 = 22 + 1
c + p = 65 - 46 = 19 = 18 + 1

となりますので、

10_ 8_ 9_20_18
 7_13_15_24_ 6
11_ 5_25_ 3_21
23_17_ 4_ 2_19
14_22_12_16_ 1

となりました。整理しますと、

• 合計の極端に小さいところや極端に大きいところから始める。
• 未知のマスの数が少ないところから始める。
• 矛盾する組み合わせを排除する。

を繰り返しました。力技ですね。