住民税に関する質問です。

今まで私の会社では、中途入社の方が出た場合でも、特に住民税に関する手続きをしておらず、もし中途入社の方が「普通徴収の納付書」を会社に持ってきたら、"特別徴収"に切り替えてあげるというスタンスを取っていました。

ところが、以前、
11月15日に前会社を辞めて、11月16日に私の会社に入社した人が、
すぐに"特別徴収"の手続きをしてほしいと言ってきました。
当然、辞めたばかりなので「普通徴収の納付書」はその方の自宅には届いていないのですが、それでも私の会社での"特別徴収"への切り替えは出来るのでしょうか？

以前、私の会社を辞めていった人に関して、転職先の経理担当者から、何か書類を出して欲しいと言われたことがあったので、
前の会社を辞めて、すぐに新しい会社に移った場合でも、
前会社の協力があれば、
一度、普通徴収に変わらなくても、
そのまま継続的に特別徴収を行うことが出来るような気がするのですが、実際にどのようにしたらよいかが分かりません。

出来るだけ、具体的に事例などを交えて説明していただけると大変助かります。