高次元の超球（０次元から上を含む）の「超表面積」及び「超体積」の値の求め方及びその値を数学的に論理立て、分りやすく教えてください。単にＵＲＬを貼り付けるだけでなく、回答者自身の理解した説明があれば幸いです。（できるだけ平易に）
何次元でも結構ですが3次元で止めない様お願いいたします。
No.1
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2次元球がx^2+y^2≦r^2、3次元球がx^2+y^2+z^2≦r^2、のようにあらわされる領域であることを考えると、
1次元の球は、x^2≦r^2ということで、1次元直線上にある-x～xの2rの領域ということになるでしょう。
同様に、4次元球がx^2+y^2+z^2+w^2≦r^2 となります。
ガウス積分とかやると一発なんですが、
http://www.geocities.jp/the_cloudy_heaven/laboratory/highsphere/...
そのような回答は求められていないようですし、漸化式を出してこうだといっても埒が明きませんので、
こつこつ順に積分してVを求めていくことにします。
できるだけ平易にと言うことですが、置換積分と三角関数の知識が必要になってしまいました。
※途中の計算に間違いがあるかもしれません。式の書き方も結構適当です。
0次元：
単位を示せない（最初に書いた球の定義として、左辺が書けない）ので飛ばします
1次元：
x^2=r^2 → x=±rということで、-r～rの領域、Vは2r。
2次元：
y^2+x^2≦r^2 より y=±√(r^2-x^2)
xが0～rで変化する場合、yの幅（つまり2r）は0～2√(r^2-x^2)のように変化。
これを積み上げたものが面積(半円)になる。→積分します。
V=2∫[0、r]2√(r^2-x^2)dx
このままだとちょっとつらいので置換積分。
x=r*sinθとおいて、x=0のときθ=0、x=rのときθ=π/2
dx=r*cosθdθってことになるので、dx/dθ=r*cosθとなり、
V=2*2∫[0、π/2]√(r^2-(r*sinθ)^2)*r*cosθdθ
=4∫[0、π/2]r^2*√(1-(sinθ)^2)*cosθdθ
sin^2 t + cos^2 t = 1 より 1-sin^2θ=cos^2θなので、
=4∫[0、π/2]r^2*√(cos^2θ)*cosθdθ
=4∫[0、π/2]r^2*cos^2θdθ
倍角の公式から
=4∫[0、π/2]r^2*1/2*(1+cos2θ)dθ
=2*r^2∫[0、π/2](1+cos2θ)dθ
=2*r^2（θ-1/2sin2θ)[0,π/2]
=2*r^2*π/2
=πr^2
以降も同様の考え方で、前の次元のVについてrを√(r^2-x^2)で置き換えて積分する方法を
繰り返していきます。
3次元、V=2*π∫[0、r](√(r^2-x^2))^2dx
xに対応して変化する半径√(r^2-x^2)の円を想定し、それを積み上げることで体積を求めます。
V=2*π∫[0、r](r^2-x^2)dx
=2*π(r^2x-1/3x^3)[0、r]
=2*π(r^3-1/3*r^3)
=2*2/3*πr^3
=4/3πr^3。
一旦ここで整理してみると、各次元のVはVn=Kn*r^n の形で見ることができ、
n=1,2,3 に対して、Knは 2、π、4/3π となっています。
4次元：
xに対応して変化する半径√(r^2-x^2)の球を想定し、それを積み上げることで超球のVを求めます。
K(3)=4/3πとすると、V=2*K(3)∫[0、r](√(r^2-x^2))^3dx
2次元のときと同様に x=r*sinθとおくと、x=0→θ=0、x=r→θ=π/2、
dx=r*cosθdθってことになるので、dx/dθ=r*cosθ
つまり、V=2*K∫[0、π/2](√(r^2-r^2*sin^2θ)^3*r*cosθdθ （Kの括弧は省略）
=2*K∫[0、π/2](r√(1-sin^2θ))^3*r*cosθdθ … 1-sin^2θ→Cos^2θをつかって
=2*Kr^4∫[0、π/2](√(cos^2θ))^3*cosθdθ
=2*Kr^4∫[0、π/2](cosθ)^3*cosθdθ
=2*Kr^4∫[0、π/2](cosθ)^4dθ この形が重要らしい
=2*Kr^4∫[0、π/2](cos^2θ)^2 dθ
=2*Kr^4∫[0、π/2](1/2*(1+cos(2θ))^2dθ 2倍角の公式を適用
=2*Kr^4*(1/4∫[0、π/2](2cos2θ＋1+cos^2(2θ))dθ)
=2*Kr^4*(1/4∫[0、π/2](2cos2θ＋1+(1-cos4θ)/2 )dθ) もう一度、2倍角の公式を適用
=2*Kr^4*(1/4∫[0、π/2](2cos2θ＋3/2-1/2cos4θ )dθ)
=2*Kr^4*1/4*(sin2θ＋3/2θ-1/8sin4θ)[0,π/2] …sinの項は引数が0とπの整数倍なので、消える
=2*Kr^4*3/8*π/2
=Kr^4*3/8*π
=4/3*π*r^4*3/8*π
=1/2*π^2r^4
5次元。K(4)=1/2*π^2
V=2*K∫[0、r](√(r^2-x^2))^4dx
=2*K∫[0、r](r^2-x^2)^2dx
=2*K∫[0、r](r^4-2r^2*x^2+x^4)dx
=2*K(r^4*x-2/3*r^2*x^3+1/5*x^5)[0、r]
=2*K(r^5-2/3*r^5+1/5*r^5)
=2*K*r^5*(15/15-10/15+3/15)
=2*K*r^5*8/15
=k*r^5*16/15
=1/2*π^2*r^5*16/15
=8/15*π^2*r^5
6次元。K(5)=8/15π^2
V=2*K∫[0、r](√(r^2-x^2))^5dx
x=r*sinθとおくと、x=0→θ=0、x=r→θ=π/2。dx=r*cosθdθなので、dx/dθ=r*cosθ
つまり、V=2*K∫[0、π/2](√(r^2-r^2*sin^2θ)^5*r*cosθdθ 整理して
=2*K*r^6∫[0、π/2](cosθ)^6 dθ
=2*K*r^6∫[0、π/2](cos^2θ)^3 dθ
=2*K*r^6∫[0、π/2](((1+cos(2θ))/2)^3dθ 2倍角の公式を適用
=2*K*r^6∫[0、π/2]1/8( 1+cos^3(2θ)+3cos^2(2θ)＋3cos2θ) ) 展開
=2*K*r^6∫[0、π/2]1/8( 1+ 1/4(cos6θ+3cos2θ)+3/2(1-cos4θ)+2cos(2θ)) 3倍角の公式を適用
=2*K*r^6∫[0、π/2]1/8( 1+ 1/4cos6θ+1/12cos2θ+3/2-3/2*cos4θ+2*cos(2θ))
=2*K*r^6*1/8( θ+ 1/24sin6θ+3/8sin2θ+3/2θ-3/8*sin4θ+sin(2θ))[0、π/2]
=2*K*r^6*1/8( π/2*(1+3/2))
=K*r^6*5/16*π
=8/15*π^2* r^6 * 5/16*π
=1/6*π^3*r^6
7次元。K(6)=1/6π^3
V=2*K∫[0、r](√(r^2-x^2))^6dx
=2*K∫[0、r](r^2-x^2)^3dx
=2*K∫[0、r](r^6-3r^4*x^2+3r^2*x^4-x^6)dx
=2*K(r^6*x-r^4*x^3+3/5*r^2*x^5-1/7*x^7)[0、r]
=2*K(r^7-r^7+3/5*r^7-1/7*r^7)
=K*r^7*(32/35)
=1/6*π^3*r^7*(32/35)
=16/105*π^3*r^7
積分はこの辺にして各次元の係数Knの関係を調べて見ます。
n=1,2,3,...7 に対して、Knは 2、π、4/3π、1/2π^2、8/15π^2 、1/6π^3、16/105π^3
という結果になりました。
それぞれの係数の比率を書き出してみると、
K1=2
K2=2 * 1/2π
K3=2 * 1/2π * 4/3
K4=2 * 1/2π * 4/3 * 3/8π
K5=2 * 1/2π * 4/3 * 3/8π * 16/15
K6=2 * 1/2π * 4/3 * 3/8π * 16/15 * 5/16π
K7=2 * 1/2π * 4/3 * 3/8π * 16/15 * 5/16π * 32/35
となっています。
最後の
K7= 2 * 1/2π * 4/3 * 3/8π * 16/15 * 5/16π * 32/35 をもう少し分解すると。
2→ 2* 1/1
1/2π→ π* 1/2
4/3→ 2* 2/(1*3)
3/8π→ π* (1*3)/(2*4)
16/15→ 2* (2*4)/(1*3*5)
5/16π→ π* (1*3*5)/(2*4*6)
32/35→ 2* (2*4*6)/(1*3*5*7)
ここまでくると規則性がはっきり見えてきました。
奇数次元へ1次元上がるときに
「nまでの偶数を全て掛けた数/nまでの奇数を全て掛けた数」*2 倍。
偶数数次元へ1次元上がるときに
「nまでの奇数を全て掛けた数/nまでの偶数を全て掛けた数」*π 倍。
となっています。
分子と分母で約分できる要素があるので整理すると、Knは、
分子：
2を(n+1)/2回掛ける、πはn/2回掛ける
分母：
nが奇数のときは「nまでの奇数を全て掛けた数」。
nが偶数のときは「nまでの偶数を全て掛けた数」。
となるので式にまとめると
奇数のとき、Vn=2(2π)^((n-1)/2)/n!!
偶数のとき、Vn=(2π)^(n/2)/n!!
といえます。(n!!は二重階乗)
K6について検算。n=6なので、2は3回、πは3回、分母は2*4*6 → 2^3*π^3*1/(2*4*6)=1/6*π^3
K7について検算。n=7なので、2は4回、πは3回、分母は1*3*5*7 → 2^4*π^3*1/(1*3*5*7)=16/105*π^3
あっているようです。
球面の層Sを球体中心から積んだ結果(積分)がVであることから、SはVの微分となります。
べき乗の微分は簡単なので、省略。
というかここまで書いてちょっと疲れましたです。
yamadakouzi
2008/05/30 01:06:16
1
1
1
2
2
1
3
19
19
dungeon-master
ありがとうございます。大変に正確な積分からの解答、お疲れ様でした。
Ｖの一般式まで示して頂いて大変役立ちます。ところで表面積Ｓの値が見当たりません。
Ｓの一般式はSn=Ｖn*n/rで良いでしょうか？
折角ここまで出してもらったのですから、「球面の層Sを球体中心から積んだ結果(積分)がVであることから、SはVの微分となります。
べき乗の微分は簡単なので、省略。」でなく、値だけでも示して欲しかったです。