＜問題＞

決まりといってしまえば決まりなのですが････。

1+3+5+･･･ +(2n-1)=n^2　　(n=1,2,3 ･･･ )

上記のような、nを含む数式を証明する際には、「P(k) が正しいとすれば，P(k + 1) も正しい」ことを証明します。

（与えられた数式にあるのは、nだけです。）

この場合、kは任意の自然数なのですが、あるkという数に固定しているので、正しいと仮定しているのはkのところだけです。

(Σak)^2=Σak^3（Σはk=1からnです）

→(Σan)^2=Σan^3(n=1,2,3 ･･･ )

書き換えると（a1+a2+･･･ +a(n) )^2=a1^3+a2^3+･･･ +an^3

今回のような、数列a(n)を含む数式を証明する際には、「P(1), ..., P(k) が正しいとすれば，P(k + 1) も正しい」ことを証明します。

（与えられた数式にあるのは、a1～anまでのすべてです。）

この場合、先のものと同じくakについてのみ成り立つと仮定すると、その数式に含まれている1～(k-1)については正しくなくても良いことになってしまいます。

そのため、1～kまですべてで成り立つと仮定しておく必要があるのです。

強化とはこのことを言っているものと思います。

自分で書いていて文章が判り難いように思いましたが、判りますでしょうか？

＞場合分けの「n=kのときOK」が使えない理由がいまひとつわかりません。

「使えない」のではなく、「不十分」もしくは「足りない」のほうが表現として適当だと思います。

通常、よく使う帰納法の論理展開は

1)k=1の時に成り立つことを示す。(初期段階)

2)k=nの時に成り立つと仮定したときk=n+1の時にも成り立つことを示す。(帰納段階)

ことを証明します。すると

k=1の時成り立つことは1)の証明で保障されている。

上の行よりk=1の時成り立つことはわかったのでk=2の時成り立つことは2)で保障されている。

上の行よりk=2の時成り立つことはわかったのでk=3の時成り立つことは2)で保障されている。

…

ということになり、全ての1以上の自然数について証明されたことになります。

今回の場合は

1)k=1の時に成り立つことを示す。(初期段階)

2)k=1,2,…,nの時に成り立つと仮定したときk=n+1の時にも成り立つことを示す。(帰納段階)

ことを証明することになります。すると

k=1の時成り立つことは1)の証明で保障されている。

ここまででk=1の時成り立つことはわかったのでk=2の時成り立つことは2)で保障されている。

ここまででk=1,2の時成り立つことはわかったのでk=3の時成り立つことは2)で保障されている。

…

ということになり、全ての1以上の自然数について証明されることになります。

さて、この問題を証明するにあたって帰納段階で

を利用すると思います。

これはまでが全て証明されていることを仮定しています。

つまりがわかっているだけでは不十分です。

従って前者の帰納法の論理展開では不十分で、後者の帰納法の論理展開を用いるのが正しいことになります。