1+x+x^2+x^3+・・・＝1/(x-1)

x≠1のとき、部分和S=S[n]を

.S=1+x+x^2+x^3+・・・+x^(n-1)・・・・・①とおくと、「...」は行をそろえるために用いました。

xS=..x+x^2+x^3+・・・+x^(n-1)+x^n・・・②

S-xS法により①-②

(1-ｘ)S=1-x^n

∴S=S[n]＝{1-x^n}/{1-ｘ}

S[n]={1-x^n}/{1-ｘ}＝1/{1-ｘ}-1/{1-ｘ}×x^n

｜x｜＜1のときx^n→0であるから、S[n]→1/{1-x}

∴1+x+x^2+x^3+・・・＝1/(1-x)

ちなみに、

ｘ≦-1,1＜ｘのとき、S[n]は発散する。

x=1のとき、S[n]=n∴Ｓ[n]は発散する。

なぜそうなるのかという話でしょうか？

まず右辺の分母は(1-x)の間違いかと.

Sn=1+x+x^2+...+x^n

とします.(部分和といいます)

すると,

xSn=x+x^2+...+x^(n+1)

ですから辺々引いて

(1-x)Sn=1-x^(n+1)

となります.

ここでx≠1であれば

Sn={1-x^(n+1)}/(1-x)

となります.

さらに-1<x<1であればx^(n+1)→0 (n→∞)ですから</p>

S=1+x+x^2+x^3+...=1/(1-x)

となります.

ですからこの式は-1<x<1という条件付きです.</p>

等比級数といいます.

(1-x)Σⁿ_k=0x^k=(1-x)(1+x+x²+x³+…+xⁿ)

=(1+x+x²+x³+…+xⁿ)-(x+x²+x³+x⁴+…+xⁿ+xⁿ⁺¹)

=1-xⁿ⁺¹

なので、Σⁿ_k=0x^k=(1-xⁿ⁺¹)/(1-x)

さらに、Σ^∞_k=0x^k=lim_n→∞(1-xⁿ⁺¹)/(1-x)

=lim_n→∞1/(1-x)+lim_n→∞xⁿ⁺¹/(1-x)…★

★の式より|x|≧1では発散、|x|<1では1/(x-1)に収束。

こんにちは。

>|x|<1で成立する式ですよね。

>x=-1を用いて、Σn=-1/12,nは自然数が導かれますが、この点についてはどうでしょうか？

>1+x+x^2+x^3+・・・＝1/(1-x)に、x=-1を用いるのは適当でしょうか？

この部分についてですが，|x|<1 で成り立つはずの式に，x = -1を適用するのは，

複素関数論の「解析接続」という手法を用いればできます。

下記のページをざっと見れば，解析接続を使ってどのような式が導き出せるのか，

雰囲気はつかめると思います。

ゼータ関数と解析接続

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/346_zeta.htm

ただし，質問者さんが導き出したような「-1/12」という値は，

あくまで「解析接続された世界」でのみ成り立つ値であって，

普通は適用範囲外の値を代入してはいけないです。