東京都の文京区，新宿区，台東区でバドミントンのコートを貸し出してくれる体育館を探しています．

http://www.regasu-shinjuku.or.jp/

こちらはどうでしょうか

夢の島公園内にあるＢｕｍＢ東京スポーツ文化館は個人でも利用しやすい施設です。

​http://www.ys-tokyobay.co.jp/index.html​

区の施設の利用については、区内在住・在勤者のみを対象としているところもあるしそうでないところもあります。

個人での利用が可能かどうかはその施設によっても変わりますので、それぞれのサイトで確認してみてください。「○○区（スペース一文字分）スポーツ」で各区のページが見つかると思います。

たとえば新宿区の場合は以下のサイトの「施設案内」に申し込み方法が掲載されていますが、ざっと見た限りでは「新宿区内在住・在勤の方」との記載が見つかりました。

​http://www.regasu-shinjuku.or.jp/​

以下は利用条件や料金などが異なるものの利用はできるようです。

港区スポーツセンター

​http://www.anox.net/minato/sports/sp01.html​

江東区健康スポーツ公社

​http://www.koto-hsc.or.jp/​

中野区は

​http://www.nices.or.jp/​

こちらはどうでしょうか。

レガス新宿

http://www.regasu-shinjuku.or.jp/

http://www.regasu-shinjuku.or.jp/

http://www.regasu-shinjuku.or.jp/

文京区

勤労福祉会館

東京都文京区本駒込4－35－15

http://www.city.bunkyo.lg.jp/sosiki_busyo_keizai_shisetsu_kinpuk...

台東区

台東リバーサイドスポーツセンター体育館

http://www.taitocity.net/taito/riverside/riyou1.html

http://www.taitocity.net/taito/riverside/shisetsu.html

関東地方のバドミントンのできる体育館情報

http://badminton.rengo.net/badlink/taiikukan/taiikukan-kantou.ht...

国立霞ケ丘競技場体育館

http://www.naash.go.jp/kokuritu/gym_sisetu.html

いかがでしょうか。